Halaman: 1 2 [3] 4 5 ... 10
21
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 20, 2022, 10:14:28 AM »
22
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 20, 2022, 10:13:27 AM »
https://www.kkitokyo.com/KKIT - Keluarga Katolik Indonesia Tokyo
23
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 20, 2022, 09:16:42 AM »
24
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 20, 2022, 07:44:38 AM »
25
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 04, 2022, 08:19:20 PM »
26
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 01, 2022, 04:50:40 PM »
\section{Teorema Sumbu Sejajar}
Misalkan ada sebuah benda tegar $M \subseteq \mathbb{R}^3$ yang berpusat massa di titik $(0, 0, 0)$. Misalkan pula ada dua buah sumbu sejajar $a_0$ yang melalui titik $(0, 0, 0)$ dan $a$ yang melalui titik $\vec{l} := l(\cos\phi, \sin\phi, 0)$ yang keduanya memiliki arah yang diwakili oleh vektor satuan $\hat{z} := (0, 0, 1)$, di mana $\phi \in \{ 0 \}\cup(0, 2\pi)$ dan $l \in \mathbb{R}^+$. Tentu saja, momen inersia dari $M$ terhadap sumbu $a_0$ adalah
\[ I_0 := \int_M |\vec{r}\times\hat{z}|^2dm = \int_M (x^2 + y^2)dm \]
di mana $dm$ adalah elemen massa dari $M$ yang bergantung pada vektor posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in M$ sedemikian $\int_M dm =: m$ adalah massa dari $M$. Tentu pula, momen inersia dari $M$ terhadap sumbu $a$ adalah
\[ I = \int_M |(\vec{r} - \vec{l})\times\hat{z}|^2dm. \]
\[ I = \int_M |\vec{r}\times\hat{z} - \vec{l}\times\hat{z}|^2dm. \]
\[ I = \int_M [|\vec{r}\times\hat{z}|^2 + |\vec{l}\times\hat{z}|^2 - 2\vec{r}\cdot\vec{l}]dm. \]
\[ I = I_0 + l^2\int_M dm - 2l\int_M (x\cos\phi + y\sin\phi)dm. \]
\[ I = I_0 + ml^2 \]
sebab $\int_M x\,dm = \int_M y\,dm = 0$ oleh karena pusat massa dari $M$ ada di titik $(0, 0, 0)$ seperti telah disebutkan sebelumnya.
27
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 30, 2022, 08:20:46 PM »
28
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 21, 2022, 04:34:37 PM »
\section{Persamaan Geodesik (2)}
Persamaan geodesik dapat dicari dengan cara yang berbeda, selain dengan metode kalkulus variasi, yaitu setara dengan percepatan yang sama dengan nol di suatu manifold $M$ yang berdimensi-$m$. Andaikan $\vec{r} \in M$ adalah vektor posisi yang bergantung pada $m$ buah koordinat umum $q^1, \cdots, q^m \in \mathbb{R}$ dari sebuah manifold $M$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^n$ di mana $n \geq m$. Koordinat $q^i$ bergantung pada parameter seperti-waktu $\tau \in \mathbb{R}$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, m \}$. Persamaan yang menyatakan nolnya percepatan tentu saja adalah
\[ d^2\vec{r}/d\tau^2 = 0. \]
Dengan menerapkan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, maka diperoleh
\[ (d/d\tau)(d\vec{r}/d\tau) = 0 \]
alias
\[ \dot{q}^i(\partial/\partial q^i)(\dot{q}^j\vec{e}_j) = 0 \]
di mana $\dot{q}^j := dq^i/d\tau$ dan $\vec{e}_j := \partial\vec{r}/\partial q^j$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, m \}$. Selanjutnya,
\[ \dot{q}^i(\vec{e}_j\partial\dot{q}^j/\partial q^i + \dot{q}^j\partial\vec{e}_j/\partial q^i) = 0. \]
Karena $\partial\vec{e}_j/\partial q^i = {\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k$ (di mana $\Gamma$ adalah lambang Christoffel) dan $\dot{q}^i\partial\dot{q}^j/\partial q^i = \ddot{q}^i := d\dot{q}^i/d\tau$, maka
\[ \ddot{q}^j\vec{e}_j + \dot{q}^i\dot{q}^j{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k = 0. \]
Dengan melakukan penukaran indeks boneka, maka diperoleh
\[ \ddot{q}^k\vec{e}_k + \dot{q}^i\dot{q}^j{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k = 0. \]
Karena himpunan $\{ \vec{e}_k ~|~ k \in \{ 1, \cdots, m \} \}$ itu bebas linier, maka tentu saja
\[ \ddot{q}^k + {\Gamma^k}_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j = 0. \]
Inilah persamaan geodesik yang dimaksud tersebut di atas.
29
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 19, 2022, 09:23:44 PM »
30
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 11, 2022, 05:27:00 PM »
\section{Transportasi Paralel}
Andaikan ada sebuah medan vektor $\vec{A} := A^i\vec{e}_i \in \mathbb{R}^n$ pada sebuah ruang vektor berdimensi $n$, di mana telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang, serta $A^i \in \mathbb{R}$ bergantung pada koordinat umum $(q^1, \cdots, q^m) \in \mathbb{R}^m$ pada sebuah manifold berdimensi $m$ dengan $m \leq n$, dan $\vec{e}_i := \partial\vec{r}/\partial q^i$ adalah anggota basis kontravarian. Di sini, $\vec{r} \in \mathbb{R}^n$ adalah vektor posisi. Vektor $\vec{A}$ ini ber-transportasi paralel dengan syarat $d\vec{A} = \vec{0}$ alias
\[ \frac{\partial\vec{A}}{\partial q^i}dq^i = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial(A^j\vec{e}_j)}{\partial q^i} = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial A^j}{\partial q^i}\vec{e}_j + A^j\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^i} = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial A^k}{\partial q^i}\vec{e}_k + A^j{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k = \vec{0} \]
alias
\[ \frac{\partial A^k}{\partial q^i} + A^j{\Gamma^k}_{ij} = 0 \]
untuk setiap $k, i \in \{ 1, \cdots, m \}$, di mana didefinisikan lambang Christoffel ${\Gamma^k}_{ij} \in \mathbb{R}$ sedemikian rupa sehingga
\[ \frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^i} = {\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k. \]
Dengan mencari semua kemungkinan $A^k$ yang bergantung pada $(q^1, \cdots, q^m)$, serta dengan menyajikannya sebagai $\vec{A} = A^k\vec{e}_k$, maka diperoleh transportasi paralel untuk vektor $\vec{A}$.
Halaman: 1 2 [3] 4 5 ... 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 08:21:53 AM
Tulisan Terbaru