91
« Tulisan terakhir by Roni pada Februari 10, 2021, 09:15:12 PM »
Guru Ilahi Yang Maha Bijaksana,
aku mohon kepada-Mu supaya pengajaranku sebagai dosen fisika berhasil,
karena pengajaranku sebagai dosen fisika merupakan persiapan bagi hidupku di kemudian hari.
Aku mohon kepandaian yang cemerlang,
dan Engkau sudi membantu aku,
agar aku dapat mengerti semua matakuliah fisika
dan dapat mengingat semuanya dengan baik
sehingga pada akhirnya aku bisa naik pangkat menjadi seorang guru besar.
Guru Yang Bijaksana,
aku juga mohon khususnya supaya aku memperoleh hasil pengajaran yang baik
didalam semua matakuliah fisika
yang paling aku butuhkan di kemudian hari.
Dari pihakku aku akan berusaha sungguh-sungguh
untuk belajar dan mengajar semua matakuliah fisika dengan tekun,
juga semua matakuliah fisika yang sangat berat.
Tetapi dalam hal ini aku sungguh
hanya bersandar pada bantuan-Mu.
Yesus, aku mohon pengajaran fisika-ku berhasil demi masa depanku,
demi orang tuaku, jangan sampai mereka kecewa,
demi keselamatan jiwaku
dan demi kemuliaan-Mu.
Akhirnya ya Yesus aku mohon semangat dan gairah belajar dan mengajar yang tinggi, supaya aku selalu belajar dan mengajar dengan rajin dan tekun,
tanpa mengabaikan kepentingan-kepentingan luhur
yang perlu bagi keselamatan jiwaku di dunia
dan di akhirat nanti.
Amin.
92
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 19, 2021, 11:13:01 PM »
\section{Syarat Benda Tegar}
Syarat suatu benda $M \subseteq \mathbb{R}^3$ disebut benda tegar adalah bahwa posisi titik $\vec{r}_i \in M$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$ dapat dinyatakan sebagai rotasi dan translasi setiap titik $\vec{r}_{0i} \in M_0 \subseteq \mathbb{R}^3$ di mana $M$ dan $M_0$ kongkruen sedemikian
\[ \vec{r}_i = \hat{n}(\vec{r}_{0i}\cdot\hat{n}) + (\hat{n}\times\vec{r}_{0i})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_{0i}\sin\theta + \vec{R} \]
di mana $\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ adalah arah vektor satuan sudut rotasi yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$, $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut rotasi, dan $\vec{R} \in \mathbb{R}^3$ adalah parameter translasi.
Ternyata, dari perhitungan yang teliti, diperoleh
\[ |\vec{r}_i - \vec{r}_j|^2 = |\vec{r}_{0i} - \vec{r}_{0j}|^2 \]
untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$, yang berarti bahwa jarak sebarang dua titik pada $M$ selalu tetap.
Contoh soalnya adalah sebagai berikut.
Andaikan diketahui bahwa posisi $n$ buah titik $\vec{r}_i$ yang bergantung pada waktu $t \in \mathbb{R}$ secara kontinyu untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Apakah sistem $n$ buah titik tersebut merupakan benda tegar?
Jawabannya adalah sebagai berikut.
Kita harus menguji apakah setiap dua buah titik $\vec{r}_i$ dan $\vec{r}_j$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$ berlaku kaitan
\[ \frac{d}{dt}|\vec{r}_i - \vec{r}_j| = 0. \]
Jika persamaan terakhir dipenuhi, maka sistem $n$ buah titik tersebut merupakan benda tegar. Jika persamaan terakhir tidak dipenuhi, maka sistem $n$ buah titik tersebut bukanlah benda tegar.
93
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 19, 2021, 01:17:39 PM »
\section{Sistem Satuan Kuantum Relativistik}
Kadang-kadang, dalam perhitungan fisika, kita memakai sistem satuan kuantum relativistik, yaitu $c = \hbar = 1$, di mana $c := \alpha\operatorname{m}/\operatorname{s}$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa, dan $\hbar := \beta\operatorname{J}\operatorname{s}$ adalah tetapan Planck tereduksi, sedemikian $\alpha := 2,998(10^8)$ dan $\beta := 1,055(10^{-34})$. Diketahui, muatan elementer adalah $e := \gamma\operatorname{C}$ di mana $\gamma := 1,6(10^{-19})$. Oleh karena itu,
\[ \alpha\operatorname{m}/\operatorname{s} = 1 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \beta\operatorname{kg}\operatorname{m}^2/\operatorname{s} = 1. \]
Dari sistem persamaan terakhir, diperoleh
\[ (\beta/\alpha)\operatorname{kg}\operatorname{m} = 1 \]
alias
\[ \operatorname{m} = (\alpha/\beta)/\operatorname{kg} \]
serta
\[ \operatorname{s} = \alpha\operatorname{m} = (\alpha^2/\beta)/\operatorname{kg}. \]
Oleh karena itu,
\[ \operatorname{kg} = \operatorname{kg}\alpha^2\operatorname{m}^2/\operatorname{s}^2 = \alpha^2\operatorname{J} = \alpha^2\operatorname{V}\operatorname{C} = \alpha^2(1/(\gamma\operatorname{C}))\operatorname{eV}\operatorname{C} \]
\[ = (\alpha^2/\gamma)\operatorname{eV} = (\alpha^2/\gamma)10^{-9}\operatorname{GeV} = 5,62(10^{26})\operatorname{GeV}. \]
Demikian pula,
\[ \operatorname{m} = (\gamma/(\alpha\beta))10^9\operatorname{GeV}^{-1} = 5,07(10^{15})\operatorname{GeV}^{-1} \]
dan
\[ \operatorname{s} = (\gamma/\beta)10^9\operatorname{GeV}^{-1} = 1,52(10^{24})\operatorname{GeV}^{-1}. \]
94
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 17, 2021, 03:40:31 PM »
\section{Deformasi Objek Geometris}
Objek geometris di ruang $\mathbb{R}^3$ dapat berupa titik, kurva, permukaan, maupun volume pejal. Deformasi objek-objek geometris merupakan perubahan lokus (tempat kedudukan) suatu titik, kurva, permukaan, maupun volume pejal di ruang $\mathbb{R}^3$. Deformasi dapat berupa translasi, rotasi, dilatasi, maupun perubahan bentuk yang lain.
Deformasi sebuah titik dinyatakan oleh
\[ \vec{r} = \vec{f}(t) \]
untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ dan $\vec{f} \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.
Deformasi sebuah kurva dinyatakan oleh
\[ C(f, g, t) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}, t) = g(\vec{r}, t) = 0 \} \]
untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ dan $f, g \,:\, \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ adalah dua buah pemetaan kontinyu.
Deformasi sebuah permukaan dinyatakan oleh
\[ S(f, t) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}, t) = 0 \} \]
untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ dan $f \,:\, \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.
Deformasi sebuah volume pejal dinyatakan oleh
\[ V(f, t) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ f(\vec{r}, t) < 0 \} \]
untuk setiap $t \in \mathbb{R}$ dan $f \,:\, \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah pemetaan kontinyu.
95
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 09, 2021, 07:26:23 PM »
96
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 02, 2021, 05:33:27 PM »
97
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 01, 2021, 07:26:35 PM »
\section{Paduan Getaran-Getaran Selaras Sederhana yang Sefrekuensi tetapi Berbeda Arah Getarannya dan Fasenya}
Ada $n$ buah getaran selaras sederhana, yaitu
\[ \vec{r}_i := \vec{A}_i\cos(\omega t - \delta_i) \in \mathbb{R}^3 \]
untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $\vec{A}_i \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor tetapan amplitudo, $\omega \in \mathbb{R}$ adalah skalar tetapan frekuensi sudut getaran, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $\delta_i \in \mathbb{R}$ adalah sudut fase getaran.
Paduan dari $n$ buah getaran tersebut adalah
\[ \vec{r} := \sum_{i = 1}^n \vec{r}_i = \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i\cos(\omega t - \delta_i) \]
\[ = \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i(\cos\delta_i\cos\omega t + \sin\delta_i\sin\omega t) = \vec{A}\cos\omega t + \vec{B}\sin\omega t \]
di mana
\[ \vec{A} := \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i\cos\delta_i ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \vec{B} := \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i\sin\delta_i. \]
Tentu saja,
\[ |\vec{r}|^2 = |\vec{A}|^2\cos^2\omega t + |\vec{B}|^2\sin^2\omega t + 2\vec{A}\cdot\vec{B}\cos\omega t\sin\omega t. \]
\[ = (1/2)[(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) + (|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)]\cos^2\omega t \]
\[ + (1/2)[(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) - (|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)]\sin^2\omega t + \vec{A}\cdot\vec{B}\sin 2\omega t \]
\[ = (1/2)(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) + (1/2)(|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)\cos 2\omega t + \vec{A}\cdot\vec{B}\sin 2\omega t \]
\[ = (1/2)(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) + \sqrt{(1/4)(|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)^2 + (\vec{A}\cdot\vec{B})^2}\cos(2\omega t - \phi) \]
di mana
\[ \phi := \arctan_2((1/2)(|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2), \vec{A}\cdot\vec{B}). \]
Kuantitas $|\vec{r}|^2$ mencapai maksimum apabila $2\omega t - \phi = 0$ alias $\omega t = \phi/2$, serta mencapai minimum apabila $2\omega t - \phi = \pi$ alias $\omega t = (\phi + \pi)/2$, sehingga didefinisikan
\[ \vec{r}_{\text{mak}} := \vec{A}\cos(\phi/2) + \vec{B}\sin(\phi/2) =: \vec{a} \]
dan
\[ \vec{r}_{\text{min}} := -\vec{A}\sin(\phi/2) + \vec{B}\cos(\phi/2) =: \vec{b} \]
yang keduanya disajikan dalam bentuk matriks menjadi
\[ \begin{pmatrix} \cos(\phi/2) & \sin(\phi/2) \\ -\sin(\phi/2) & \cos(\phi/2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{A} \\ \vec{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \end{pmatrix}, \]
yang penyelesaiannya adalah
\[ \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{a} & \sin(\phi/2) \\ \vec{b} & \cos(\phi/2) \end{vmatrix} = \vec{a}\cos(\phi/2) - \vec{b}\sin(\phi/2) \]
dan
\[ \vec{B} = \begin{vmatrix} \cos(\phi/2) & \vec{a} \\ -\sin(\phi/2) & \vec{b} \end{vmatrix} = \vec{a}\sin(\phi/2) + \vec{b}\cos(\phi/2). \]
Karena tadi $\vec{r} = \vec{A}\cos\omega t + \vec{B}\sin\omega t$, maka
\[ \vec{r} = (\vec{a}\cos(\phi/2) - \vec{b}\sin(\phi/2))\cos\omega t + (\vec{a}\sin(\phi/2) + \vec{b}\cos(\phi/2))\sin\omega t \]
\[ = \vec{a}\cos(\omega t - \phi/2) + \vec{b}\sin(\omega t - \phi/2). \]
Karena
\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = (1/2)(|\vec{B}|^2 - |\vec{A}|^2)\sin\phi + \vec{A}\cdot\vec{B}\cos\phi = 0, \]
maka didefinisikan $\vec{a} := a\hat{x}'$ dan $\vec{b} := b\hat{y}'$ di mana $a, b \in \mathbb{R}^+$ dan $\hat{x}'\cdot\hat{y}' = 0$ serta $|\hat{x}'| = |\hat{y}'| = 1$.
Oleh karena itu,
\[ \vec{r} = \hat{x}'x' + \hat{y}'y' = \hat{x}'a\cos(\omega t - \phi/2) + \hat{y}'b\sin(\omega t - \phi/2) \]
sehingga
\[ x' = a\cos(\omega t - \phi/2) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ y' = b\sin(\omega t - \phi/2). \]
Karena $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ untuk semua $\alpha \in \mathbb{R}$, maka
\[ (x'/a)^2 + (y'/b)^2 = 1 \]
yang menandakan bahwa trayektori paduan $n$ buah getaran selaras tersebut berbentuk sebuah elips.
98
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 30, 2020, 08:47:06 PM »
\section{Sistem Koordinat Umum}
Dalam ruang $\mathbb{R}^n$, vektor posisi dinyatakan sebagai $\vec{r} := (x^1, \cdots, x^n) \in \mathbb{R}^n$ yang bergantung pada seperangkat koordinat umum adalah $q^1, \cdots, q^n \in \mathbb{R}$.
Dengan menggunakan kesepakatan penjumlahan Einstein, andaikan ada sebuah vektor $\vec{A} := A^j\vec{e}_j \in \mathbb{R}^n$, di mana $A^j := \vec{A}\cdot\vec{e}^j \in \mathbb{R}$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, n \}$ adalah komponen kontravarian dari vektor $\vec{A}$, $\vec{e}_j := \partial\vec{r}/\partial q^j$ adalah anggota basis kontravarian, dan $\vec{e}^j := \nabla q^j$ adalah anggota basis kovarian.
Komponen tensor metrik kovarian didefinisikan sebagai $g_{ij} := \vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$. Komponen tensor kontravarian didefinisikan sebagai $g^{ij} := \vec{e}^i\cdot\vec{e}^j$.
Lambang Christoffel $\Gamma$ didefinisikan sedemikian
\[ \frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^k} = {\Gamma^i}_{jk}\vec{e}_i \]
sehingga
\[ {\Gamma^i}_{jk} = \vec{e}^i\cdot\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^k}. \]
Karena $\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = {\delta^i}_j$, maka dengan menurunkan kedua ruas persamaan terakhir dengan $q^k$, diperoleh
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k}\cdot\vec{e}_j + \vec{e}^i\cdot({\Gamma^l}_{jk}\vec{e}_l) = 0 \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k}\cdot\vec{e}_j + {\Gamma^i}_{jk} = 0 \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k}\cdot\vec{e}_j = -{\Gamma^i}_{jk} \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k} = -{\Gamma^i}_{jk}\vec{e}^j. \]
Demikian pula, ada sifat ${\Gamma^i}_{kj} = {\Gamma^i}_{jk}$.
Selanjutnya,
\[ \frac{\partial\vec{A}}{\partial q^j} = \frac{\partial(A^i\vec{e}_i)}{\partial q^j} = \frac{\partial A^i}{\partial q^j}\vec{e}_i + A^i{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k \]
\[ = \left(\frac{\partial A^k}{\partial q^j} + A^i{\Gamma^k}_{ij}\right)\vec{e}_k =: \frac{DA^k}{\partial q^j}\vec{e}_k \]
di mana didefinisikan
\[ \frac{DA^k}{\partial q^j} := \frac{\partial A^k}{\partial q^j} + A^i{\Gamma^k}_{ij} \]
yang merupakan turunan kovarian.
Apabila $\varphi \in \mathbb{R}$ adalah sebuah skalar yang bergantung pada seperangkat koordinat umum tadi, maka
\[ \nabla\varphi = \hat{x}^j\frac{\partial\varphi}{\partial x^j} \]
di mana
\[ \hat{x}^j = \hat{x}_j := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{j}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]
sehingga
\[ \nabla\varphi = \hat{x}^j\frac{\partial q^k}{\partial x^j}\frac{\partial\varphi}{\partial q^k} = \vec{e}^k\frac{\partial\varphi}{\partial q^k}. \]
Divergensi dari $\vec{A}$ tentu saja adalah
\[ \nabla\cdot\vec{A} = \vec{e}^i\cdot\frac{\partial}{\partial q^i}(A^j\vec{e}_j) = \vec{e}^i\cdot\left(\frac{DA^j}{\partial q^i}\vec{e}_j\right) = \frac{DA^i}{\partial q^i}. \]
Rotasi dari $\vec{A}$ tentu saja adalah
\[ \nabla\times\vec{A} = \vec{e}^i\times\frac{\partial}{\partial q^i}(A^j\vec{e}_j) = \frac{DA^j}{\partial q^i}\vec{e}^i\times\vec{e}_j. \]
Laplacian dari $\varphi$ tentu saja adalah
\[ \nabla^2\varphi = \vec{e}^i\cdot\frac{\partial}{\partial q^i}\left(\vec{e}^j\frac{\partial}{\partial q^j}\right)\varphi \]
\[ = \vec{e}^i\cdot\left(-{\Gamma^j}_{ik}\vec{e}^k\frac{\partial}{\partial q^j} + \vec{e}^j\frac{\partial^2}{\partial q^i\partial q^j}\right)\varphi \]
\[ = g^{ij}\frac{\partial^2\varphi}{\partial q^i\partial q^j} - {\Gamma^j}_{ik}g^{ik}\frac{\partial\varphi}{\partial q^j}. \]
Laplacian dari $\vec{A}$ tentu saja adalah
\[ \nabla^2\vec{A} = \left(g^{ij}\frac{\partial^2}{\partial q^i\partial q^j} - {\Gamma^j}_{ik}g^{ik}\frac{\partial}{\partial q^j}\right)(A^l\vec{e}_l) \]
\[ = \left(g^{ij}\frac{D^2A^l}{\partial q^i\partial q^j} - {\Gamma^j}_{ik}g^{ik}\frac{DA^l}{\partial q^j}\right)\vec{e}_l. \]
99
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 28, 2020, 05:46:50 PM »
Dalam Gereja Katolik, kita mengenal warna-warna liturgi, antara lain ungu (yang melambangkan keprihatinan), hijau (yang melambangkan pengharapan), merah (yang melambangkan pengorbanan maupun Roh Kudus), dan putih (yang melambangkan kesucian maupun kegembiraan). Apabila pada suatu hari tertentu, terjadi tumpang-tindih antara warna liturgi yang satu dengan warna liturgi yang lain, maka urutan intensitas warna liturgi dari yang paling tinggi sampai yang paling rendah adalah (1) merah, (2) putih, (3) ungu, dan (4) hijau. Warna liturgi yang memiliki intensitas lebih tinggi haruslah mengalahkan warna liturgi yang memiliki intensitas yang lebih rendah.
100
« Tulisan terakhir by cotrans pada Desember 26, 2020, 07:08:25 PM »
\section{Jacobian}
Andaikan $x_{j_i} \in \mathbb{R}$ untuk semua $j_i \in \{ 1, \cdots, n \}$ dan untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, r \}$ di mana $n, r \in \mathbb{N}$. Andaikan pula $y_{k_m} \in \mathbb{R}$ untuk semua $k_m \in \{ 1, \cdots n \}$ dan untuk semua $m \in \{ 1, \cdots, r \}$. Andaikan pula $x_{j_i}$ bergantung pada $y_{k_m}$ untuk semua $j_i, k_m \in \{ 1, \cdots, n \}$ dan untuk semua $i, m \in \{ 1, \cdots, r \}$. Oleh karena itu,
\[ \omega := dx_{j_1}\wedge\cdots\wedge dx_{j_r} = \left(\sum_{k_1 = 1}^n \frac{\partial x_{j_1}}{\partial y_{k_1}}dy_{k_1}\right)\wedge\cdots\wedge\left(\sum_{k_r = 1}^n \frac{\partial x_{j_r}}{\partial y_{k_r}}dy_{k_r}\right) \]
\[ = \frac{1}{r!}\sum_{k_1, \cdots, k_r = 1}^n \begin{vmatrix} \partial x_{j_1}/\partial y_{k_1} & \cdots & \partial x_{j_1}/\partial y_{k_r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial x_{j_r}/\partial y_{k_1} & \cdots & \partial x_{j_r}/\partial y_{k_r} \end{vmatrix} dy_{k_1}\wedge\cdots\wedge dy_{k_r}. \]
Apabila $n = r$, maka
\[ \omega = dx_{1}\wedge\cdots\wedge dx_{n} = \begin{vmatrix} \partial x_{1}/\partial y_{1} & \cdots & \partial x_{1}/\partial y_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial x_{n}/\partial y_{1} & \cdots & \partial x_{n}/\partial y_{n} \end{vmatrix} dy_{1}\wedge\cdots\wedge dy_{n}. \]
Apabila $n < r$, maka $\omega = 0$.
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 08:17:48 AM
Tulisan Terbaru