Kardinalitas dari Gabungan dan Irisan Beberapa Himpunan

[cotrans]

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.

\section{Kardinalitas dari Gabungan dan Irisan Beberapa Himpunan}

Misalkan $A, B, C$ adalah sebarang himpunan.  Kardinalitas dari sebarang himpunan $A$ dinyatakan sebagai $|A|$.  Kardinalitas dari suatu himpunan, secara mudahnya mengatakan, adalah banyaknya anggota himpunan tersebut.  Kita mempunyai beberapa teorema sebagai berikut.
\[ |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|. \]
\[ |A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|. \]
\[ |A\cap B| = |A| + |B| - |A\cup B|. \]
\[ |A\cap B\cap C| = |A| + |B| + |C| - |A\cup B| - |A\cup C| - |B\cup C| + |A\cup B\cup C|. \]
Kita dapat memperumum teorema-teorema tersebut dengan melihat polanya sebagai berikut.
\[ \left|\bigcup_{i = 1}^n A_i\right| = -\sum_{j = 1}^n (-1)^j\sum_{\begin{array}{c} i_1, \cdots, i_j = 1 \\ i_1 < \cdots < i_j \end{array}}^n \left|\bigcap_{k \in \{ i_1, \cdots, i_j \}} A_k\right|. \]
\[ \left|\bigcap_{i = 1}^n A_i\right| = -\sum_{j = 1}^n (-1)^j\sum_{\begin{array}{c} i_1, \cdots, i_j = 1 \\ i_1 < \cdots < i_j \end{array}}^n \left|\bigcup_{k \in \{ i_1, \cdots, i_j \}} A_k\right|. \]

Om santi santi om.