Efek Doppler untuk Cahaya

[cotrans]

Horas.

\section{Efek Doppler untuk Cahaya}

Kaitan antara waktu $t \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K$ dan waktu $t' \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi titik $P$ menurut $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Kaitan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu
\[ dt' = \Gamma dt(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah kecepatan $P$ menurut $K$.  Apabila $\vec{v}$ dan $\vec{V}$ konstan, maka kaitan terakhir dapat diintegralkan menjadi
\[ t' - t'_0 = \Gamma(t - t_0)(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $t'_0, t_0 \in \mathbb{R}$ adalah tetapan waktu awal.  Apabila $t' - t'_0 = T'$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K'$, dan $t - t_0 = T$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K$, serta $\vec{v} := c\vec{V}/|\vec{V}|$ adalah kecepatan $P$ yang dianggap sebagai partikel cahaya dalam ruang hampa, maka diperoleh
\[ T' = T\frac{1 - V/c}{\sqrt{1 - (V/c)^2}} \]
di mana $V \in \mathbb{R}$ adalah kecepatan 1-dimensi $K'$ menurut $K$ sedemikian $\vec{V} = V\hat{V}$ dengan $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$.  Karena frekuensi gelombang cahaya menurut $K$ adalah $\nu := 1/T$, dan frekuensi gelombang cahaya menurut $K'$ adalah $\nu' := 1/T'$, maka
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 - (V/c)^2}}{1 - V/c} \]
alias
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 + V/c}\sqrt{1 - V/c}}{\sqrt{1 - V/c}\sqrt{1 - V/c}} \]
alias
\[ \nu' = \nu\sqrt{\frac{1 + V/c}{1 - V/c}} = \nu\sqrt{\frac{c + V}{c - V}}. \]
Kaitan terakhir ini merupakan efek Doppler untuk cahaya, di mana $V$ merupakan kecepatan relatif pengamat terhadap sumber cahaya.  Besaran $V$ bertanda positif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling mendekati, dan bertanda negatif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling menjauhi.

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.