Segitiga Geodesik yang Seperti Waktu, Seperti Cahaya, dan Seperti Ruang di Ruang

[cotrans]

Hosana in excelcis.

\section{Segitiga Geodesik yang Seperti Waktu, Seperti Cahaya, dan Seperti Ruang di Ruang Minkowski}

Kuadrat jarak antara titik $A := (t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $B := (t_1, x_1, y_1, z_1)$ di ruang Minkowski adalah
\[ s_{01}^2 = c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2  \]
di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.  Apabila $s_{01}^2 > 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti waktu.  Apabila $s_{01}^2 = 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti cahaya.  Apabila $s_{01}^2 < 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti ruang.  Andaikan ada segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$.  Di sini, akan dipaksakan
\[ c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = s_{12}^2, \]
\[ c^2(t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2 - (y_3 - y_2)^2 - (z_3 - z_2)^2 = s_{23}^2, \]
\[ c^2(t_1 - t_3)^2 - (x_1 - x_3)^2 - (y_1 - y_3)^2 - (z_1 - z_3)^2 = s_{31}^2. \]
Apabila $s_{12}$, $s_{23}$, dan $s_{31}$ dianggap sudah diketahui dan bersifat bebas, maka di antara kedua belas peubah lainnya, yaitu $t_1$, $t_2$, $t_3$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $y_1$, $y_2$, $y_3$, $z_1$, $z_2$, dan $z_3$, harus ada $3$ peubah yang tidak bebas, sedangkan $12 - 3 = 9$ peubah lainnya dianggap bebas.  Agar di antara ketiga peubah tak bebas tersebut (yang diambil dari kedua belas peubah tersebut) tidak ada yang diistimewakan, maka akan dilakukan parameterisasi terhadap kedua belas peubah tersebut, misalnya
\[ c(t_2 - t_1) = s_{12}\cosh\alpha_{12}, \]
\[ x_2 - x_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12}, \]
\[ y_2 - y_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12}, \]
\[ z_2 - z_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = s_{23}\cosh\alpha_{23}, \]
\[ x_3 - x_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23}, \]
\[ y_3 - y_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23}, \]
\[ z_3 - z_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = s_{31}\cosh\alpha_{31}, \]
\[ x_1 - x_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31}, \]
\[ y_1 - y_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31}, \]
\[ z_1 - z_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31}. \]
Ternyata,
\[ s_{12}\cosh\alpha_{12} + s_{23}\cosh\alpha_{23} + s_{31}\cosh\alpha_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31} = 0. \]
Jumlah peubah tak bebas itu sama dengan jumlah persamaan kendala yang saling bebas satu sama lain.

Sayonara zetsubou sensei.