Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

[cotrans]

Benedictus qui venit in nomine Domini.

\section{Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus}

Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa
\[ \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a) \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$, $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi kontinyu, dan $f'$ adalah turunan pertama dari $f$.

Karena
\[ \int_a^b f(x)dx := \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}, \]
maka
\[ I := \int_a^b f'(x)dx \]
alias
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n f'\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \lim_{\epsilon \to 0}\frac{f\left(a + j\frac{b - a}{n} + \epsilon\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\epsilon}\frac{b - a}{\epsilon}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\sum_{j = 0}^n \frac{f\left(a + (j + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f\left(a + j\frac{b - a}{n}\right)}{\frac{b - a}{n}}\frac{b - a}{n}. \]
\[ I = \lim_{n \to \infty}\left[f\left(a + (n + 1)\frac{b - a}{n}\right) - f(a)\right]. \]
\[ I = f(b) - f(a). \]

Nderek langkung.