Transformasi Lorentz Rangkap

[cotrans]

Namo Buddhaya.

\section{Transformasi Lorentz Rangkap}

Andaikan ada dua buah transformasi Lorentz, yaitu
\[ x' = \gamma_v(x - vt) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ t' = \gamma_v(t - vx/c^2), \]
serta
\[ x'' = \gamma_u(x' - ut') ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ t'' = \gamma_u(t' - ux'/c^2), \]
di mana $\gamma_v := 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, $\gamma_u := 1/\sqrt{1 - u^2/c^2}$, $v$ adalah kecepatan kerangka $O'$ menurut kerangka $O$, $u$ adalah kecepatan kerangka $O''$ menurut kerangka $O'$, $x$ adalah posisi partikel menurut kerangka $O$, $t$ adalah waktu menurut kerangka $O$, $x'$ adalah posisi partikel menurut kerangka $O'$, $t'$ adalah waktu menurut kerangka $O'$, $x''$ adalah posisi partikel menurut kerangka $O''$, dan $t''$ adalah waktu menurut kerangka $O''$.

Oleh karena itu,
\[ x'' = \gamma_u(\gamma_v(x - vt) - u\gamma_v(t - vx/c^2)). \]
\[ x'' = \gamma_u\gamma_v(x - vt - u(t - vx/c^2)). \]
\[ x'' = \gamma_u\gamma_v[(1 + uv/c^2)x - (u + v)t]. \]
\[ x'' = \gamma_u\gamma_v(1 + uv/c^2)\left[x - \frac{u + v}{1 + uv/c^2}t\right]. \]
Andaikan dimisalkan
\[ G := \gamma_u\gamma_v(1 + uv/c^2). \]
Lantas,
\[ G = \frac{1 + uv/c^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2 - v^2/c^2 + u^2v^2/c^4}}. \]
\[ G = \frac{c^2 + uv}{\sqrt{c^4 - (u^2 + v^2)c^2 + u^2v^2}}. \]
\[ G = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{\frac{c^4 - (u^2 + v^2)c^2 + u^2v^2}{c^4 + 2uvc^2 + u^2v^2}}}. \]
\[ G = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1 - c^2\frac{u^2 + v^2 + 2uv}{c^4 + 2uvc^2 + u^2v^2}}}. \]
\[ G = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1 - c^2\frac{(u + v)^2}{(c^2 + uv)^2}}} = \frac{1}{\displaystyle \sqrt{1 - \left(\frac{u + v}{1 + uv/c^2}\right)^2\frac{1}{c^2}}}. \]
\[ G = \frac{1}{\sqrt{1 - w^2/c^2}} =: \gamma_w \]
di mana
\[ w := \frac{u + v}{1 + uv/c^2} \]
sehingga
\[ x'' = \gamma_w(x - wt). \]
Demikian pula,
\[ t'' = \gamma_u(\gamma_v(t - ux/c^2) - (u/c^2)\gamma_v(x - vt)). \]
\[ t'' = \gamma_u\gamma_v[(1 + uv/c^2)t - (u + v)x/c^2]. \]
\[ t'' = \gamma_u\gamma_v(1 + uv/c^2)\left[t - \frac{u + v}{1 + uv/c^2}\frac{x}{c^2}\right]. \]
\[ t'' = \gamma_w(t - wx/c^2). \]

Wal bi Taufiq wal Hidayah.