Penyelesaian Persamaan Schrodinger Relativistik untuk Partikel Bebas

[cotrans]

Hosana in excelcis.

\section{Penyelesaian Persamaan Schrodinger Relativistik untuk Partikel Bebas}

Persamaan Schrodinger relativistik adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(\Psi - \frac{1}{2mc^2}\left(V\Psi - 2i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $m$ adalah massa partikel, $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, $V \in \mathbb{R}$ adalah tenaga potensial, dan $\Psi \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian yang bergantung pada posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t$.

Untuk partikel bebas, $V = 0$, sehingga persamaan Schrodinger tadi menjadi
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}. \]
Apabila misalnya $\Psi := \psi T$ di mana $\psi \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $\vec{r}$, dan $T \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $t$, maka
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{1}{\psi}\nabla^2\psi - \frac{1}{c^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2}\right) = i\hbar\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} \]
alias
\[ \frac{1}{\psi}\nabla^2\psi - \frac{1}{c^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} = -\frac{2mi}{\hbar}\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} \]
alias
\[ \frac{1}{\psi}\nabla^2\psi = \frac{1}{c^2}\frac{1}{T}\frac{d^2T}{dt^2} - \frac{2mi}{\hbar}\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = -k^2 \]
di mana $k \in \mathbb{C}$ adalah sebuah tetapan.

Oleh karena itu,
\[ \nabla^2\psi = -k^2\psi \]
dan
\[ \frac{1}{c^2}\frac{d^2T}{dt^2} - \frac{2mi}{\hbar}\frac{dT}{dt} + k^2T = 0. \]
Andaikan $\psi := XYZ$ di mana $X \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $x \in \mathbb{R}$, $Y \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $y \in \mathbb{R}$, dan $Z \in \mathbb{C}$ hanya bergantung pada $z \in \mathbb{R}$, serta $\vec{r} := x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}$ di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$, maka
\[ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = -k^2 \]
sehingga
\[ \frac{d^2X}{dx^2} = -k_x^2X, \]
\[ \frac{d^2Y}{dy^2} = -k_y^2Y, \]
dan
\[ \frac{d^2Z}{dz^2} = -k_z^2Z, \]
di mana $k_x, k_y, k_z \in \mathbb{C}$ sedemikian $k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = k^2$.

Penyelesaian dari ketiga persamaan terakhir adalah
\[ X = X_+e^{ik_xx} + X_-e^{-ik_xx} =: X_{k_x}, \]
\[ Y = Y_+e^{ik_yy} + Y_-e^{-ik_yy} =: Y_{k_y}, \]
dan
\[ Z = Z_+e^{ik_zz} + Z_-e^{-ik_zz} =: Z_{k_z}, \]
di mana $X_\pm, Y_\pm, Z_\pm \in \mathbb{C}$ adalah tetapan.
Demikian pula,
\[ T = T_+e^{\alpha_+t} + T_-e^{\alpha_-t} \]
di mana
\[ \alpha_\pm := ic^2\left(\frac{m}{\hbar} \pm \sqrt{\frac{m^2}{\hbar^2} + \frac{k^2}{c^2}}\right) = i\beta_\pm \]
sehingga
\[ T = T_+e^{i\beta_+t} + T_-e^{i\beta_-t} =: T_{k_xk_yk_z}. \]
Oleh karena itu, penyelesaian umumnya adalah
\[ \Psi = \sum_{k_x, k_y, k_z \in \mathbb{C}}\alpha_{k_xk_yk_z}X_{k_x}Y_{k_y}Z_{k_z}T_{k_xk_yk_z}, \]
di mana $\alpha_{k_xk_yk_z} \in \mathbb{C}$ adalah koefisien kombinasi linier.

Benedictus qui venit in nomine Domini.