Efek Compton

[cotrans]

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

\section{Efek Compton}

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^2$ ada sebuah gelombang cahaya yang merambat lurus dan menabrak sebuah elektron yang bermassa rehat $m_0 \in \mathbb{R}^+$ yang mula-mula berada dalam keadaan diam.  Momentum linier dari gelombang cahaya tersebut sebelum menabrak elektron tersebut adalah $\vec{p}_l := (h/\lambda)(1, 0) \in \mathbb{R}^2$, sedangkan momentum linier gelombang cahaya tersebut setelah menabrak elektron tersebut adalah $\vec{p}'_l := (h/\lambda')(\cos\phi, -\sin\phi) \in \mathbb{R}^2$, di mana $h$ adalah tetapan Planck, $\lambda$ adalah panjang gelombang cahaya tersebut sebelum menabrak elektron tersebut, dan $\lambda'$ adalah panjang gelombang cahaya tersebut setelah menabrak elektron tersebut.  Momentum linier elektron setelah ditabrak oleh gelombang cahaya tersebut adalah $\vec{p}_e := p(\cos\theta, \sin\theta) \in \mathbb{R}^2$.  Di ruang $\mathbb{R}^2$, elektron tersebut terpental yang kecepatannya membentuk sudut datar $\theta \in \mathbb{R}$ terhadap arah kecepatan gelombang cahaya mula-mula, sedangkan gelombang cahaya tersebut juga terpental yang kecepatannya membentuk sudut datar $\phi \in \mathbb{R}$ terhadap arah kecepatan gelombang cahaya mula-mula.  Dari hukum kelestarian momentum linier dan dengan menguraikan kedua komponen tegak lurus dari arah momentum linier gelombang cahaya dan elektron sebelum dan sesudah tumbukan, maka diperoleh
\[ h/\lambda = p\cos\theta + (h/\lambda')\cos\phi \]
dan
\[ p\sin\theta = (h/\lambda')\sin\phi \]
sehingga
\[ p\cos\theta = h\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\cos\phi\right) \]
sehingga
\[ p^2\cos^2\theta = h^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}\cos^2\phi - \frac{2}{\lambda\lambda'}\cos\phi\right), \]
padahal
\[ p^2\sin^2\theta = \frac{h^2}{\lambda'^2}\sin^2\phi \]
sehingga dengan memanfaatkan identitas trigonometri, yaitu $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, diperoleh
\[ p^2 = h^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2}- \frac{2}{\lambda\lambda'}\cos\phi\right). \]
Tenaga kinetik $T$ elektron tersebut diberikan oleh gelombang cahaya tersebut sehingga
\[ T = h(\nu - \nu') = hc(1/\lambda - 1/\lambda') \]
\[ = \sqrt{(pc)^2 + (m_0c^2)^2} - m_0c^2 \]
di mana $\nu$ ($\nu'$) adalah frekuensi gelombang cahaya tersebut sebelum (setelah) menabrak elektron tersebut, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa.

Oleh karena itu,
\[ hc(1/\lambda - 1/\lambda') + m_0c^2 = \sqrt{(pc)^2 + (m_0c^2)^2} \]
yang kedua ruas dikuadratkan menjadi
\[ h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\right) + (m_0c^2)^2 + 2hm_0c^3\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) \]
\[ = h^2c^2\left(\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda'^2} - \frac{2}{\lambda\lambda'}\cos\phi\right) + (m_0c^2)^2 \]
alias
\[ -\frac{2}{\lambda\lambda'} + \frac{2m_0c}{h}\left(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda'}\right) = -\frac{2}{\lambda\lambda'}\cos\phi \]
alias
\[ -1 + (m_0c/h)(\lambda' - \lambda) = -\cos\phi \]
alias
\[ \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_0c}(1 - \cos\phi). \]
Skalar $\lambda_C := h/(m_0c)$ ini biasa disebut sebagai panjang gelombang Compton.

Hosana in excelcis.