Pembuktian Prinsip Bagi Adil untuk Menentukan Garis Singgung suatu Kurva

[cotrans]

Salam sejahtera.

\section{Pembuktian Prinsip Bagi Adil untuk Menentukan Garis Singgung suatu Kurva}

Andaikan ada sebuah parabola
\[ P(a, b, c) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = ax^2 + bx + c \} \]
di mana $a, b, c \in \mathbb{R}$ adalah konstanta.

Tentu saja gradien garis singgung di titik $(x, y) \in P(a, b, c)$ adalah
\[ m := dy/dx = 2ax + b \]
sehingga gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0) \in P(a, b, c)$ adalah
\[ m_0 := 2ax_0 + b. \]
Andaikan garis singgung di titik $(x_0, y_0) \in P(a, b, c)$ tersebut adalah
\[ L(m_0, n_0) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = m_0x + n_0 \} \]
di mana $m_0, n_0 \in \mathbb{R}$ sehingga
\[ y = (2ax_0 + b)x + n_0. \]
Dengan memasukkan $(x, y) = (x_0, y_0)$ ke persamaan terakhir, diperoleh
\[ y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c = (2ax_0 + b)x_0 + n_0 \]
alias
\[ n_0 = ax_0^2 + bx_0 + c - (2ax_0 + b)x_0 = -ax_0^2 + c \]
sehingga
\[ y = (2ax_0 + b)x + (-ax_0^2 + c) \]
alias
\[ y + ax_0^2 + bx_0 + c = (2ax_0 + b)x + (bx_0 + 2c) \]
alias
\[ y + y_0 = 2ax_0x + b(x + x_0) + 2c \]
alias
\[ (1/2)(y + y_0) = ax_0x + (1/2)b(x + x_0) + c \]
yang merupakan prinsip bagi adil untuk $P(a, b, c)$.

Selanjutnya, andaikan ada sebuah hiperbola
\[ H(C) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ xy = C \} \]
di mana $C \in \mathbb{R}$ adalah konstanta, sehingga $y = C/x$.

Gradien garis singgung di titik $(x, y) \in H(C)$ adalah $m := dy/dx = -C/x^2$ sehingga gradien garis singgung di titik $(x_0, y_0) \in H(C)$ adalah $m_0 := -C/x_0^2$.

Garis singgung di titik $(x_0, y_0) \in H(C)$ adalah
\[ L(m_0, n_0) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = m_0x + n_0 \} \]
di mana $m_0, n_0 \in \mathbb{R}$ sehingga
\[ y = (-C/x_0^2)x + n_0. \]
Dengan memasukkan $(x, y) = (x_0, y_0)$ ke persamaan terakhir, diperoleh
\[ C/x_0 = -C/x_0 + n_0 ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ n_0 = 2C/x_0 \]
sehingga
\[ y = (-C/x_0^2)x + 2C/x_0 ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ y = (-y_0/x_0)x + 2C/x_0 \]
alias
\[ x_0y = -xy_0 + 2C ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ x_0y + xy_0 = 2C \]
alias $(1/2)(x_0y + xy_0) = C$ yang merupakan prinsip bagi adil untuk $H(C)$.

Selanjutnya, tanpa pembuktian, disimpulkan bahwa garis singgung pada kurva
\[ \gamma(A, B, C, D, E, F) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \} \]
di titik $(x_0, y_0) \in \gamma(A, B, C, D, E, F)$, di mana $A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$, adalah
\[ L(f) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ f(x, y) = 0 \} \]
di mana $f \,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ adalah sebuah fungsi sedemikian
\[ f(x, y) = Ax_0x + (1/2)B(x_0y + xy_0) + Cy_0y + (1/2)D(x + x_0) + (1/2)E(y + y_0) + F \]
yang merupakan prinsip bagi adil untuk $\gamma(A, B, C, D, E, F)$.

Gloria in excelsis Deo.