Sistem Koordinat Umum

[cotrans]

Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

\section{Sistem Koordinat Umum}

Dalam ruang $\mathbb{R}^n$, vektor posisi dinyatakan sebagai $\vec{r} := (x^1, \cdots, x^n) \in \mathbb{R}^n$ yang bergantung pada seperangkat koordinat umum adalah $q^1, \cdots, q^n \in \mathbb{R}$.

Dengan menggunakan kesepakatan penjumlahan Einstein, andaikan ada sebuah vektor $\vec{A} := A^j\vec{e}_j \in \mathbb{R}^n$, di mana $A^j := \vec{A}\cdot\vec{e}^j \in \mathbb{R}$ untuk semua $j \in \{ 1, \cdots, n \}$ adalah komponen kontravarian dari vektor $\vec{A}$, $\vec{e}_j := \partial\vec{r}/\partial q^j$ adalah anggota basis kontravarian, dan $\vec{e}^j := \nabla q^j$ adalah anggota basis kovarian.

Komponen tensor metrik kovarian didefinisikan sebagai $g_{ij} := \vec{e}_i\cdot\vec{e}_j$.  Komponen tensor kontravarian didefinisikan sebagai $g^{ij} := \vec{e}^i\cdot\vec{e}^j$.

Lambang Christoffel $\Gamma$ didefinisikan sedemikian
\[ \frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^k} = {\Gamma^i}_{jk}\vec{e}_i \]
sehingga
\[ {\Gamma^i}_{jk} = \vec{e}^i\cdot\frac{\partial\vec{e}_j}{\partial q^k}. \]
Karena $\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = {\delta^i}_j$, maka dengan menurunkan kedua ruas persamaan terakhir dengan $q^k$, diperoleh
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k}\cdot\vec{e}_j + \vec{e}^i\cdot({\Gamma^l}_{jk}\vec{e}_l) = 0  \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k}\cdot\vec{e}_j + {\Gamma^i}_{jk} = 0 \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k}\cdot\vec{e}_j = -{\Gamma^i}_{jk} \]
alias
\[ \frac{\partial\vec{e}^i}{\partial q^k} = -{\Gamma^i}_{jk}\vec{e}^j. \]
Demikian pula, ada sifat ${\Gamma^i}_{kj} = {\Gamma^i}_{jk}$.

Selanjutnya,
\[ \frac{\partial\vec{A}}{\partial q^j} = \frac{\partial(A^i\vec{e}_i)}{\partial q^j} = \frac{\partial A^i}{\partial q^j}\vec{e}_i + A^i{\Gamma^k}_{ij}\vec{e}_k \]
\[ = \left(\frac{\partial A^k}{\partial q^j} + A^i{\Gamma^k}_{ij}\right)\vec{e}_k =: \frac{DA^k}{\partial q^j}\vec{e}_k \]
di mana didefinisikan
\[ \frac{DA^k}{\partial q^j} := \frac{\partial A^k}{\partial q^j} + A^i{\Gamma^k}_{ij} \]
yang merupakan turunan kovarian.

Apabila $\varphi \in \mathbb{R}$ adalah sebuah skalar yang bergantung pada seperangkat koordinat umum tadi, maka
\[ \nabla\varphi = \hat{x}^j\frac{\partial\varphi}{\partial x^j} \]
di mana
\[ \hat{x}^j = \hat{x}_j := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{j}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]
sehingga
\[ \nabla\varphi = \hat{x}^j\frac{\partial q^k}{\partial x^j}\frac{\partial\varphi}{\partial q^k} = \vec{e}^k\frac{\partial\varphi}{\partial q^k}. \]
Divergensi dari $\vec{A}$ tentu saja adalah
\[ \nabla\cdot\vec{A} = \vec{e}^i\cdot\frac{\partial}{\partial q^i}(A^j\vec{e}_j) = \vec{e}^i\cdot\left(\frac{DA^j}{\partial q^i}\vec{e}_j\right) = \frac{DA^i}{\partial q^i}. \]
Rotasi dari $\vec{A}$ tentu saja adalah
\[ \nabla\times\vec{A} = \vec{e}^i\times\frac{\partial}{\partial q^i}(A^j\vec{e}_j) = \frac{DA^j}{\partial q^i}\vec{e}^i\times\vec{e}_j. \]
Laplacian dari $\varphi$ tentu saja adalah
\[ \nabla^2\varphi = \vec{e}^i\cdot\frac{\partial}{\partial q^i}\left(\vec{e}^j\frac{\partial}{\partial q^j}\right)\varphi \]
\[ = \vec{e}^i\cdot\left(-{\Gamma^j}_{ik}\vec{e}^k\frac{\partial}{\partial q^j} + \vec{e}^j\frac{\partial^2}{\partial q^i\partial q^j}\right)\varphi \]
\[ = g^{ij}\frac{\partial^2\varphi}{\partial q^i\partial q^j} - {\Gamma^j}_{ik}g^{ik}\frac{\partial\varphi}{\partial q^j}. \]
Laplacian dari $\vec{A}$ tentu saja adalah
\[ \nabla^2\vec{A} = \left(g^{ij}\frac{\partial^2}{\partial q^i\partial q^j} - {\Gamma^j}_{ik}g^{ik}\frac{\partial}{\partial q^j}\right)(A^l\vec{e}_l) \]
\[ = \left(g^{ij}\frac{D^2A^l}{\partial q^i\partial q^j} - {\Gamma^j}_{ik}g^{ik}\frac{DA^l}{\partial q^j}\right)\vec{e}_l. \]

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.