Paduan Getaran-Getaran Selaras Sederhana yang Sefrekuensi tetapi Berbeda Arah

[cotrans]

Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.

\section{Paduan Getaran-Getaran Selaras Sederhana yang Sefrekuensi tetapi Berbeda Arah Getarannya dan Fasenya}

Ada $n$ buah getaran selaras sederhana, yaitu
\[ \vec{r}_i := \vec{A}_i\cos(\omega t - \delta_i) \in \mathbb{R}^3 \]
untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $\vec{A}_i \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor tetapan amplitudo, $\omega \in \mathbb{R}$ adalah skalar tetapan frekuensi sudut getaran, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $\delta_i \in \mathbb{R}$ adalah sudut fase getaran.

Paduan dari $n$ buah getaran tersebut adalah
\[ \vec{r} := \sum_{i = 1}^n \vec{r}_i = \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i\cos(\omega t - \delta_i) \]
\[ = \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i(\cos\delta_i\cos\omega t + \sin\delta_i\sin\omega t) = \vec{A}\cos\omega t + \vec{B}\sin\omega t \]
di mana
\[ \vec{A} := \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i\cos\delta_i ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \vec{B} := \sum_{i = 1}^n \vec{A}_i\sin\delta_i. \]
Tentu saja,
\[ |\vec{r}|^2 = |\vec{A}|^2\cos^2\omega t + |\vec{B}|^2\sin^2\omega t + 2\vec{A}\cdot\vec{B}\cos\omega t\sin\omega t. \]
\[ = (1/2)[(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) + (|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)]\cos^2\omega t \]
\[ + (1/2)[(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) - (|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)]\sin^2\omega t + \vec{A}\cdot\vec{B}\sin 2\omega t \]
\[ = (1/2)(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) + (1/2)(|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)\cos 2\omega t + \vec{A}\cdot\vec{B}\sin 2\omega t \]
\[ = (1/2)(|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2) + \sqrt{(1/4)(|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2)^2 + (\vec{A}\cdot\vec{B})^2}\cos(2\omega t - \phi) \]
di mana
\[ \phi := \arctan_2((1/2)(|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2), \vec{A}\cdot\vec{B}). \]
Kuantitas $|\vec{r}|^2$ mencapai maksimum apabila $2\omega t - \phi = 0$ alias $\omega t = \phi/2$, serta mencapai minimum apabila $2\omega t - \phi = \pi$ alias $\omega t = (\phi + \pi)/2$, sehingga didefinisikan
\[ \vec{r}_{\text{mak}} := \vec{A}\cos(\phi/2) + \vec{B}\sin(\phi/2) =: \vec{a} \]
dan
\[ \vec{r}_{\text{min}} := -\vec{A}\sin(\phi/2) + \vec{B}\cos(\phi/2) =: \vec{b} \]
yang keduanya disajikan dalam bentuk matriks menjadi
\[ \begin{pmatrix} \cos(\phi/2) & \sin(\phi/2) \\ -\sin(\phi/2) & \cos(\phi/2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec{A} \\ \vec{B} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \end{pmatrix}, \]
yang penyelesaiannya adalah
\[ \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{a} & \sin(\phi/2) \\ \vec{b} & \cos(\phi/2) \end{vmatrix} = \vec{a}\cos(\phi/2) - \vec{b}\sin(\phi/2) \]
dan
\[ \vec{B} = \begin{vmatrix} \cos(\phi/2) & \vec{a} \\ -\sin(\phi/2) & \vec{b} \end{vmatrix} = \vec{a}\sin(\phi/2) + \vec{b}\cos(\phi/2). \]
Karena tadi $\vec{r} = \vec{A}\cos\omega t + \vec{B}\sin\omega t$, maka
\[ \vec{r} = (\vec{a}\cos(\phi/2) - \vec{b}\sin(\phi/2))\cos\omega t + (\vec{a}\sin(\phi/2) + \vec{b}\cos(\phi/2))\sin\omega t \]
\[ = \vec{a}\cos(\omega t - \phi/2) + \vec{b}\sin(\omega t - \phi/2). \]
Karena
\[ \vec{a}\cdot\vec{b} = (1/2)(|\vec{B}|^2 - |\vec{A}|^2)\sin\phi + \vec{A}\cdot\vec{B}\cos\phi = 0, \]
maka didefinisikan $\vec{a} := a\hat{x}'$ dan $\vec{b} := b\hat{y}'$ di mana $a, b \in \mathbb{R}^+$ dan $\hat{x}'\cdot\hat{y}' = 0$ serta $|\hat{x}'| = |\hat{y}'| = 1$.

Oleh karena itu,
\[ \vec{r} = \hat{x}'x' + \hat{y}'y' = \hat{x}'a\cos(\omega t - \phi/2) + \hat{y}'b\sin(\omega t - \phi/2) \]
sehingga
\[ x' = a\cos(\omega t - \phi/2) ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ y' = b\sin(\omega t - \phi/2). \]
Karena $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ untuk semua $\alpha \in \mathbb{R}$, maka
\[ (x'/a)^2 + (y'/b)^2 = 1 \]
yang menandakan bahwa trayektori paduan $n$ buah getaran selaras tersebut berbentuk sebuah elips.

Wassalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.