Luas Sebuah Kerucut yang Dibatasi oleh Sebuah Silinder . Sebuah Contoh

[cotrans]

Om Swastyastu.

\section{Luas Sebuah Kerucut yang Dibatasi oleh Sebuah Silinder . Sebuah Contoh}

Misalkan ada sebuah permukaan kerucut
\[ K := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = 3z^2 \}. \]
Misalkan ada sebuah daerah
\[ D := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z \geq 0 \}. \]
Misalkan ada sebuah silinder pejal
\[ S := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + (y - 2)^2 \leq 4 \}. \]
Kita diminta untuk mencari luas dari $K\cap D\cap S$.

Melalui proses parameterisasi dari $K$, kita peroleh
\[ x = \sqrt{3}r\cos\alpha, ~~~~~ y = \sqrt{3}r\sin\alpha, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ z = r, \]
di mana $r \in \mathbb{R}$ dan $\alpha \in [0, 2\pi]$.

Tentu saja haruslah $r \geq 0$.

Untuk mencari batas-batas yang sebenarnya dari $r$ dan $\alpha$, kita lakukan perhitungan
\[ 3r^2\cos^2\alpha + (\sqrt{3}r\sin\alpha - 2)^2 \leq 4 \]
alias
\[ 3r^2 - 4\sqrt{3}r\sin\alpha \leq 0 \]
alias
\[ r(\sqrt{3}r - 4\sin\alpha) \leq 0. \]
Karena tadi sudah ditetapkan $r \geq 0$, maka haruslah
\[ 0 \leq r \leq (4/\sqrt{3})\sin\alpha \]
untuk $0 \leq \alpha \leq \pi$.

Kita tinggal menghitung $|d^2\vec{r}|$, di mana $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor posisi yang bergantung pada $r$ dan $\alpha$.

Tentu saja,
\[ d^2\vec{r} := \hat{x}dy\wedge dz + \hat{y}dz\wedge dx + \hat{z}dx\wedge dy \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$.

Dengan menggunakan Jacobian, kita peroleh
\[ d^2\vec{r} = \left(\hat{x}\begin{vmatrix} \partial y/\partial r & \partial y/\partial\alpha \\ \partial z/\partial r & \partial z/\partial\alpha \end{vmatrix} + \hat{y}\begin{vmatrix} \partial z/\partial r & \partial z/\partial\alpha \\ \partial x/\partial r & \partial x/\partial\alpha \end{vmatrix} + \hat{z}\begin{vmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\alpha \\ \partial y/\partial r & \partial y/\partial\alpha \end{vmatrix}\right)dr\wedge d\alpha \]
alias
\[ |d^2\vec{r}| = 2\sqrt{3}r\,dr\,d\alpha. \]
Tentu saja luas dari $K\cap D\cap S$ adalah
\[ A := \int_{K\cap D\cap S} |d^2\vec{r}| \]
alias
\[ A = 2\sqrt{3}\int_0^\pi \int_0^{(4/\sqrt{3})\sin\alpha} r\,dr\,d\alpha \]
alias
\[ A = \frac{16}{3}\sqrt{3}\int_0^\pi \sin^2\alpha\,d\alpha = \frac{8}{3}\sqrt{3}\pi. \]

Sepintas metode ini sangat berbeda dengan metode pada umumnya, dan cenderung sangat bertele-tele.  Namun demikian, metode ini telah terbukti sangat ampuh untuk menghitung luas permukaan lengkung yang tidak dapat dihitung dengan metode pada umumnya, serta integralnya cenderung lebih mudah dihitung daripada integral yang muncul dalam metode pada umumnya.

Wal bi Taufiq wal Hidayah.