Volume Bangun Ruang yang Dibatasi oleh Silinder dan Bidang Datar

[cotrans]

Kula Nuwun.

\section{Volume Bangun Ruang yang Dibatasi oleh Silinder dan Bidang Datar}

Misalkan ada sebuah silinder pejal
\[ S := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ 4x^2 + y^2 \leq a^2 \} \]
di mana $a \in \mathbb{R}^+$.

Misalkan ada sebuah daerah
\[ Z := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z \geq 0 \}. \]
Misalkan ada sebuah daerah
\[ Y := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ y \geq 0 \}. \]
Misalkan ada sebuah daerah
\[ D := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z \leq my \} \]
di mana $m \in \mathbb{R}^+$.

Kita diminta untuk mencari volume dari $K := S\cap Z\cap Y\cap D$.

Kita dapat menuliskan
\[ 4x^2 + y^2 = s^2 \]
di mana $0 \leq s \leq a$.

Melalui parameterisasi, kita peroleh
\[ x = (1/2)s\cos\alpha, ~~~~~ y = s\sin\alpha, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ z = t \]
di mana $\alpha \in [0, 2\pi]$.  Tentu saja, haruslah $t \geq 0$.

Tentu saja, haruslah $s\sin\alpha \geq 0$ sehingga $\sin\alpha \geq 0$ karena $s \geq 0$ yang mengharuskan $0 \leq \alpha \leq \pi$ karena $\alpha \in [0, 2\pi]$.  Haruslah pula, $0 \leq t \leq ms\sin\alpha$.

Elemen volume berarah infinitesimal kecil yang menyusun $K$ adalah
\[ dx\wedge dy\wedge dz = \begin{vmatrix} \partial x/\partial s & \partial x/\partial\alpha & \partial x/\partial t \\ \partial y/\partial s & \partial y/\partial\alpha & \partial y/\partial t \\ \partial z/\partial s & \partial z/\partial\alpha & \partial z/\partial t \end{vmatrix}ds\wedge d\alpha\wedge dt \]
alias
\[ dx\wedge dy\wedge dz = (1/2)s\,ds\wedge d\alpha\wedge dt. \]
Oleh karena itu, volume dari $K$ adalah
\[ V = \int_K |dx\wedge dy\wedge dz|. \]
\[ V = \frac{1}{2}\int_0^a \int_0^\pi \int_0^{ms\sin\alpha} s\,dt\,d\alpha\,ds. \]
\[ V = \frac{1}{2}\int_0^a \int_0^\pi s^2\sin\alpha\,d\alpha\,ds = m\int_0^a s^2ds = \frac{1}{3}ma^3. \]

Gloria in excelsis Deo.