Bentangan Sejumlah Vektor

[cotrans]

Kula Nuwun.

\section{Bentangan Sejumlah Vektor}

Bentangan dari $m$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^n$ itu merupakan sebuah lokus (tempat kedudukan) manifold linier berdimensi $q$ yang dibentang oleh $m$ buah vektor tersebut yang merupakan himpunan bagian dari atau sama dengan $\mathbb{R}^n$, yang dengan kata lain adalah $q \leq n$.

Andaikan ada $m$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^n$, yaitu $\vec{a}_i := \sum_{j = 1}^n a_{ij}\hat{x}_{j}$ (dengan $a_{ij} \in \mathbb{R}$) untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, m \}$, di mana
\[ \hat{x}_j := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{j}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]

Misalnya, didefinisikan multipel produk skalar dari $k$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^k$, yaitu
\[ [\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_k] := \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{k1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1k} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}. \]
Misalkan pula didefinisikan multipel produk skalar dari $k$ buah vektor di ruang $\mathbb{R}^p$ di mana $p > k$, yaitu
\[ [\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_k] := \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{k1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1k} & \cdots & b_{kk} \end{vmatrix} \]
di mana $b_{ij} \in \mathbb{R}$ dipilih dari $a_{ij}$ sedemikian $j \in \{ 1, \cdots, p \}$ untuk semua pemilihan.

Andaikan ada sebuah vektor posisi $\vec{r} := (x_1, \cdots, x_n)$ dengan $x_i \in \mathbb{R}$ untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.

Bentangan dari $\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \}$ dinyatakan sebagai $\operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \}$.

Mula-mula, andaikan $m = n$.

Apabila $[\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n] \neq 0$, maka $\operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \} = \mathbb{R}^n$.

Apabila $[\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n] = 0$, maka
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1}, \vec{r}] = 0 \} \]
dengan $\vec{b}_i \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \}$ yang berbeda satu sama lain untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n - 1 \}$.

Apabila $[\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1}, \vec{r}] = 0$, maka
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_n \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{c}_1, \cdots, \vec{c}_{n - 2}, \vec{r}] = 0 \} \]
dengan $\vec{c}_i \in \{ \vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1} \}$ yang berbeda satu sama lain untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n - 2 \}$.

Proses ini berlangsung hingga seterusnya.

Andaikan sekarang, $m > n$.

Apabila terdapat $\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_n \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \}$ yang berbeda satu sama lain yang memenuhi $[\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_n] \neq 0$, maka $\operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \} = \mathbb{R}^n$.

Apabila semua $\vec{b}_1, \cdots \vec{b}_n \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \}$ yang berbeda satu sama lain memenuhi $[\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_n] = 0$, maka
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{b}_1, \cdots, \vec{b}_{n - 1}, \vec{r}] = 0 \} \]
dengan $\vec{b}_i \in \{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \}$ yang berbeda satu sama lain untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n - 1 \}$.

Proses ini berlangsung hingga seterusnya seperti pada kasus $m = n$.

Sekarang, andaikan $m = n - 1$.
\[ \operatorname{Span}\{ \vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_m \} = \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^n ~|~ [\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_{n - 1}, \vec{r}] = 0 \} \]
asalkan $[\vec{a}_1, \cdots, \vec{a}_{n - 1}, \vec{r}] \neq 0$.

Proses ini berlangsung hingga seterusnya seperti pada kasus $m = n$.

Andaikan $m = n - 2$ atau $m = n - 3$ atau seterusnya, maka prosesnya serupa seperti pada kasus $m = n$.

Om Swastyastu.