Volume Sebuah Limas Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^3$

[cotrans]

Namo Buddhaya.

\section{Volume Sebuah Limas Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^3$}

Mula-mula, saya akan mencari volume sebuah limas sebarang dengan luas alas $A \in \mathbb{R}^+$ dan tinggi $T \in \mathbb{R}^+$.  Volume limas tersebut adalah
\[ V = \int_0^T A' dx \]
di mana $A' := Ax^2/T^2$, sehingga
\[ V = \frac{A}{T^2}\int_0^x x^2 dx = \frac{A}{T^2}\frac{1}{3}T^3 = \frac{1}{3}AT. \]
Kemudian, saya akan mencari volume sebuah limas segitiga yang titik-titik sudutnya adalah $\vec{a} := (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3$, $\vec{b} := (b_1, b_2, b_3) \in \mathbb{R}^3$, $\vec{c} := (c_1, c_2, c_3) \in \mathbb{R}^3$, dan $\vec{d} := (d_1, d_2, d_3) \in \mathbb{R}^3$ di ruang $\mathbb{R}^3$.  Volume tersebut adalah
\[ V = \frac{1}{3}|((\vec{b} - \vec{a})\times(\vec{c} - \vec{a}))\cdot(\vec{d} - \vec{a})|. \]
\[ V = \frac{1}{3}|(\vec{b}\times\vec{c} + \vec{a}\times\vec{b} + \vec{c}\times\vec{a})\cdot(\vec{d} - \vec{a})|. \]
\[ V = \frac{1}{3}|[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] - [\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}] + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}] - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| \]
di mana $[\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}] := (\vec{p}\times\vec{q})\cdot\vec{r}$.

Ternyata, ungkapan $V$ yang terakhir ini dapat diringkas menjadi
\[ V = \frac{1}{3}\left|\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 & 1 \\ c_1 & c_2 & c_3 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 & 1 \end{vmatrix}\right|. \]
Inilah volume limas segitiga tersebut.

Sampai jumpa lagi.