Transformasi Lorentz untuk Medan Elektromagnetik

[Roni]

Namo amitabha.

\section{Transformasi Lorentz untuk Medan Elektromagnetik}

Andaikan ada kerangka $\tilde{K}$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{V}$ menurut kerangka $K$.  Andaikan ada muatan listrik $q$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{v}$ menurut kerangka $K$.  Selanjutnya, didefinisikan besaran $\vec{Q}^0$ sebagai besaran $\vec{Q}$ yang teramati oleh muatan $q$ tersebut, serta $\vec{Q}^0_{//} := \vec{Q}\cdot\hat{v}\hat{v}$ dan $\vec{Q}^0_\bot := \vec{Q}^0 - \vec{Q}^0_{//}$.  Kemudian, didefinisikan $\vec{Q}_{//} := \vec{Q}\cdot\hat{V}\hat{V}$ dan $\vec{Q}_\bot := \vec{Q} - \vec{Q}_{//}$, serta $\tilde{\vec{Q}}_{//} := \tilde{\vec{Q}}\cdot\hat{V}\hat{V}$ dan $\tilde{\vec{Q}}_\bot := \tilde{\vec{Q}} - \tilde{\vec{Q}}_{//}$, untuk setiap besaran $\vec{Q}$, di mana $\tilde{\vec{Q}}$ didefinisikan sebagai besaran $\vec{Q}$ menurut $K$ yang teramati menurut $\tilde{K}$.  Gaya Coulomb elektrostatik menurut muatan $q$ tersebut adalah $\vec{F}^0$ di mana
\[ \vec{F}^0_{//} = \vec{F}_{//} ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \vec{F}^0_\bot = \gamma\vec{F}_\bot \]
dengan $\vec{F}$ merupakan gaya Lorentz menurut $K$, di mana $\gamma := 1/\sqrt{1 - |\vec{v}|^2/c^2}$ merupakan faktor Lorentz.
\[ \vec{F}^0 = \vec{F}^0_{//} + \vec{F}^0_\bot. \]
\[ \vec{F}^0 = \vec{F}_{//} + \gamma\vec{F}_\bot = q\vec{E}^0 \]
di mana $\vec{E}^0$ merupakan medan listrik menurut muatan $q$.

Gaya Lorentz menurut $K$ tentu saja adalah
\[ \vec{F} = q(\vec{E} + (\alpha/c)\vec{v}\times\vec{B}) \]
di mana $\vec{E}$ merupakan medan listrik menurut $K$, serta $\vec{B}$ merupakan medan magnet menurut $K$.
\[ \vec{F}_{//} = q\vec{E}_{//}. \]
\[ \vec{F}_\bot = q(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{v}\times\vec{B}) \]
\[ \vec{F}^0 = q\vec{E}_{//} + \gamma q(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{v}\times\vec{B}) = q\vec{E}^0. \]
\[ \vec{E}^0 = \vec{E}_{//} + \gamma(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{v}\times\vec{B}). \]
Medan listrik menurut $\tilde{K}$ tentu saja adalah
\[ \tilde{\vec{E}} = \vec{E}_{//} + \Gamma(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{V}\times\vec{B}) \]
di mana $\Gamma := 1/\sqrt{1 - |\vec{V}|^2/c^2}$ merupakan faktor Lorentz.  Ini merupakan transformasi Lorentz elektromagnetik yang pertama.
\[ \vec{V}\times\tilde{\vec{E}} = \Gamma(\vec{V}\times\vec{E} + (\alpha/c)(\vec{B}\cdot\vec{V})\vec{V} - (\alpha/c)V^2\vec{B}). \]
\[ \vec{V}\times\tilde{\vec{E}} = \Gamma(\vec{V}\times\vec{E} - (\alpha/c)V^2\vec{B}_\bot). \]
Kaitan inversi dari transformasi Lorentz elektromagnetik yang pertama tentu saja adalah
\[ \vec{E} = \tilde{\vec{E}}_{//} + \Gamma(\tilde{\vec{E}}_\bot - (\alpha/c)\vec{V}\times\tilde{\vec{B}}). \]
Ini adalah kaitan transformasi Lorentz elektromagnetik yang kedua.
\[ \vec{V}\times\vec{E} = \Gamma(\vec{V}\times\tilde{\vec{E}} - (\alpha/c)(\tilde{\vec{B}}\cdot\vec{V})\vec{V} + (\alpha/c)V^2\tilde{\vec{B}}). \]
\[ \vec{V}\times\vec{E} = \Gamma(\vec{V}\times\tilde{\vec{E}} + (\alpha/c)V^2\tilde{\vec{B}}_\bot). \]
\[ \vec{V}\times\vec{E} = \Gamma(\Gamma(\vec{V}\times\vec{E} - (\alpha/c)V^2\vec{B}_\bot) + (\alpha/c)V^2\tilde{\vec{B}}_\bot). \]
\[ \Gamma^{-1}\vec{V}\times\vec{E} = \Gamma(\vec{V}\times\vec{E} - (\alpha/c)V^2\vec{B}_\bot) + (\alpha/c)V^2\tilde{\vec{B}}_\bot. \]
\[ (\Gamma^{-1}\vec{V}\times\vec{E} - \Gamma(\vec{V}\times\vec{E} - (\alpha/c)V^2\vec{B}_\bot))(c/\alpha)/V^2 = \tilde{\vec{B}}_\bot. \]
\[ \Gamma((\Gamma^{-2} - 1)\vec{V}\times\vec{E} + (\alpha/c)V^2\vec{B}_\bot)(c/\alpha)/V^2 = \tilde{\vec{B}}_\bot. \]
\[ \Gamma((-V^2/c^2)\vec{V}\times\vec{E} + (\alpha/c)V^2\vec{B}_\bot)(c/\alpha)/V^2 = \tilde{\vec{B}}_\bot. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_\bot = \Gamma(\vec{B}_\bot - (\alpha c)^{-1}\vec{V}\times\vec{E}). \]
\[ \tilde{\vec{B}} = \tilde{\vec{v}}\times\tilde{\vec{E}}/(\alpha c). \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = (\alpha c)^{-1}(\tilde{\vec{v}}\times\tilde{\vec{E}})\cdot\hat{V}\hat{V}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = (\alpha c)^{-1}[(\tilde{\vec{v}}_{//} + \tilde{\vec{v}}_\bot)\times(\tilde{\vec{E}}_{//} + \tilde{\vec{E}}_\bot)]\cdot\hat{V}\hat{V}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = (\alpha c)^{-1}(\tilde{\vec{v}}_\bot\times\tilde{\vec{E}}_\bot)\cdot\hat{V}\hat{V} = (\alpha c)^{-1}\tilde{\vec{v}}_\bot\times\tilde{\vec{E}}_\bot. \]
\[ \tilde{\vec{v}}_\bot = \vec{v}_\bot\Gamma^{-1}/(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2). \]
\[ \tilde{\vec{E}}_\bot = \Gamma(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{V}\times\vec{B}). \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = \frac{\vec{v}_\bot}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)}\times\Gamma(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{V}\times\vec{B})\frac{1}{\alpha c}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = \frac{\vec{v}_\bot\times\vec{E}_\bot + (\alpha/c)[(\vec{v}_\bot\cdot\vec{B})\vec{V} - (\vec{v}_\bot\cdot\vec{V})\vec{B}]}{\alpha c(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = \frac{\vec{v}_\bot\times\vec{E}_\bot + (\alpha/c)(\alpha c)^{-1}(\vec{v}_\bot\cdot(\vec{v}\times\vec{E}))\vec{V}}{\alpha c(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = \frac{\vec{v}_\bot\times\vec{E}_\bot + c^{-2}[(\vec{v}\cdot\vec{V})(\vec{E}\times\vec{v}_\bot) + (\vec{E}\cdot\vec{V})(\vec{v}_\bot\times\vec{v})]}{\alpha c(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = \frac{\vec{v}_\bot\times\vec{E}_\bot + c^{-2}[(\vec{v}\cdot\vec{V})(\vec{E}_\bot\times\vec{v}_\bot + \vec{E}_{//}\times\vec{v}_\bot) + (\vec{E}_{//}\cdot\vec{V})(\vec{v}_\bot\times\vec{v}_{//})]}{\alpha c(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = \frac{\vec{v}_\bot\times\vec{E}_\bot + c^{-2}[(\vec{v}\cdot\vec{V})(\vec{E}_\bot\times\vec{v}_\bot) + [\vec{E}_{//}, \vec{v}_\bot, \vec{v}_{//}]\vec{V}}{\alpha c(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)}. \]
\[ \tilde{\vec{B}}_{//} = (\alpha c)^{-1}\vec{v}_\bot\times\vec{E}_\bot = \vec{B}_{//}. \]
\[ \tilde{\vec{B}} = \tilde{\vec{B}}_{//} + \tilde{\vec{B}}_\bot. \]
\[ \tilde{\vec{B}} = \vec{B}_{//} + \Gamma(\vec{B}_\bot - (\alpha c)^{-1}\vec{V}\times\vec{E}). \]
Ini adalah kaitan transformasi Lorentz elektromagnetik yang ketiga.  Inversinya adalah
\[ \vec{B} = \tilde{\vec{B}}_{//} + \Gamma(\tilde{\vec{B}}_\bot + (\alpha c)^{-1}\vec{V}\times\tilde{\vec{E}}). \]
Ini adalah kaitan transformasi Lorentz elektromagnetik yang keempat.

Jadi, seperangkat transformasi Lorentz untuk medan elektromagnetik dapat diringkas menjadi
\[ \tilde{\vec{E}} = \vec{E}_{//} + \Gamma(\vec{E}_\bot + (\alpha/c)\vec{V}\times\vec{B}) \]
dan
\[ \tilde{\vec{B}} = \vec{B}_{//} + \Gamma(\vec{B}_\bot - (\alpha c)^{-1}\vec{V}\times\vec{E}). \]
Transformasi baliknya adalah
\[ \vec{E} = \tilde{\vec{E}}_{//} + \Gamma(\tilde{\vec{E}}_\bot - (\alpha/c)\vec{V}\times\tilde{\vec{B}}) \]
dan
\[ \vec{B} = \tilde{\vec{B}}_{//} + \Gamma(\tilde{\vec{B}}_\bot + (\alpha c)^{-1}\vec{V}\times\tilde{\vec{E}}). \]

Wal bi Taufiq wal Hidayah.