Cacah Parameter Riil dari Beberapa Grup Lie

[cotrans]

Salam sejahtera.

\section{Cacah Parameter Riil dari Beberapa Grup Lie}

Kita mengenal grup matriks $ML(n, F)$ yang berisi semua matriks $n\times n$ yang unsur-unsurnya merupakan anggota dari suatu lapangan $F$, yang dapat berupa $\mathbb{R}$ maupun $\mathbb{C}$.  Dari grup ini, kita dapat membangun grup linier umum, yaitu
\[ GL(n, F) := \{ A \in ML(n, F) ~|~ \det A \neq 0 \}. \]

Kemudian, kita dapat membangun grup ortogonal, yaitu
\[ O(n) := \{ A \in GL(n, \mathbb{R}) ~|~ AA^{\text{T}} = 1 \} \]
di mana $1$ adalah matriks identitas di $GL(n, F)$.

Selanjutnya, kita dapat membangun grup ortogonal khusus, yaitu
\[ SO(n) := \{ A \in O(n) ~|~ \det A = 1 \}. \]

Demikian pula, kita dapat membangun grup uniter, yaitu
\[ U(n) := \{ A \in GL(n, \mathbb{C}) ~|~ AA^\dagger = 1 \}. \]

Lalu, kita dapat membangun grup uniter khusus, yaitu
\[ SU(n) := \{ A \in U(n) ~|~ \det A = 1 \}. \]

Grup-grup tersebut merupakan contoh dari grup kontinyu alias grup Lie yang dapat memiliki parameter riil.

Andaikan didefinisikan bahwa cacah parameter riil dari grup Lie $G$ adalah $N(G) \in \mathbb{N}_0$.

Untuk menghitung cacah dari parameter riil dari grup $O(n)$, misalnya, maka kita tuliskan
\[ \sum_{i = 1}^n A_{ji}A_{ki} = \delta_{jk} \]
untuk semua $j, k \in \{ 1, \cdots, n \}$, dengan $A_{ij} \in \mathbb{R}$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $\delta_{jk}$ adalah delta Kronecker.

Matriks $A \in GL(n, \mathbb{R})$ memiliki $n^2$ buah unsur.

Untuk $j = k$, terdapat $n$ buah persamaan riil sebagai kendala.

Untuk $j \neq k$, terdapat $(n^2 - n)/2 = n(n - 1)/2$ buah persamaan riil sebagai kendala.

Jadi, $N(O(n)) = n^2 - (n + n(n - 1)/2) = n(n - 1)/2$.

Secara serupa $N(SO(n)) = N(O(n)) = n(n - 1)/2$ karena tambahan syarat $\det A = 1$ sama sekali tidak mengurangi cacah parameter riil.

Untuk menghitung cacah parameter riil dari grup $U(n)$, misalnya, maka kita tuliskan
\[ \sum_{i = 1}^n A_{ji}A_{ki}^* = \delta_{jk} \]
untuk semua $j, k \in \{ 1, \cdots, n \}$, dengan $A_{ij} \in \mathbb{C}$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$.

Matriks $A \in GL(n, \mathbb{C})$ memiliki $2n^2$ buah unsur.

Untuk $j = k$, maka ternyata hanya terdapat $n$ buah persamaan riil, bukan $2n$, sebagai kendala.

Untuk $j \neq k$, maka ternyata ada $2(n^2 - n)/2 = n^2 - n = n(n - 1)$ buah persamaan riil sebagai kendala.

Jadi, $N(U(n)) = 2n^2 - (n + n(n - 1)) = n^2$.

Ternyata, tambahan syarat $\det A = 1$ untuk $A \in U(n)$ hanya merupakan sebuah persamaan riil, sehingga $N(SU(n)) = N(U(n)) - 1 = n^2 - 1$.

Arigatou ikimono gakari.