Magnitudo dari Jumlah Tiga Buah Vektor Satuan yang Bersudut Apit Sama Satu Sama

[cotrans]

Dalam Nama Bapa dan Putera dan Roh Kudus. Amin.

\section{Magnitudo dari Jumlah Tiga Buah Vektor Satuan yang Bersudut Apit Sama Satu Sama Lain}

Ada tiga buah vektor satuan, yaitu $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C} \in \mathbb{R}^3$ yang besar sudut apit antara setiap dua buah vektor dari ketiga buah vektor tersebut adalah sama, yaitu $\gamma := \pi - \arccos(1/3)$.  Tentu saja,
\[ |\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}|^2 = |\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 + |\hat{C}|^2 + 2\hat{A}\cdot\hat{B} + 2\hat{B}\cdot\hat{C} + 2\hat{C}\cdot\hat{A}. \]
Karena $|\hat{A}| = |\hat{B}| = |\hat{C}| = 1$ serta $\hat{P}\cdot\hat{Q} = \cos\gamma$ untuk setiap $\hat{P}, \hat{Q} \in \{ \hat{A}, \hat{B}, \hat{C} \}$ di mana $\hat{P} \neq \hat{Q}$, maka
\[ |\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}|^2 = 1 + 1 + 1 + 2\cos\gamma + 2\cos\gamma + 2\cos\gamma \]
\[ = 3 + 6\cos\gamma = 3 + 6(-1/3) = 3 - 2 = 1. \]
Dengan demikian, terdapat tiga buah vektor satuan yang magnitudo jumlah ketiganya adalah $1$.

Alhamdulillah hirobbil alamin.