Matriks Pencerminan di Ruang $\mathbb{R}^2$

[cotrans]

Sanctus, Sanctus, Dominus Deus Sabaoth.

\section{Matriks Pencerminan di Ruang $\mathbb{R}^2$}

Kita akan mencerminkan titik $\vec{r} := (x, y) \in \mathbb{R}^2$ oleh garis $L(\alpha) := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ y = x\tan\alpha \}$ di mana $\alpha \in \mathbb{R}$.

Pencerminan titik $\vec{r}$ terhadap garis $L(\alpha)$ menghasilkan titik
\[ \vec{r}' := (x', y') = \vec{r} - 2\hat{v}\times(\vec{r}\times\hat{v}) \]
di mana $\hat{v} := (\cos\alpha, \sin\alpha)$ merupakan vektor satuan yang sejajar garis $L(\alpha)$.  Tentu saja,
\[ \vec{r}' = \vec{r} - 2(\vec{r} - \vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v}) \]
alias
\[ \vec{r}' = -\vec{r} + 2\vec{r}\cdot\hat{v}\hat{v} \]
sehingga
\[ (x', y') = -(x, y) + 2(x\cos\alpha + y\sin\alpha)(\cos\alpha, \sin\alpha) \]
yang diuraikan perkomponennya menghasilkan
\[ x' = -x + 2(x\cos^2\alpha + y\sin\alpha\cos\alpha) \]
dan
\[ y' = -y + 2(x\cos\alpha\sin\alpha + y\sin^2\alpha). \]
Ini sama saja mengatakan bahwa
\[ x' = x\cos2\alpha + y\sin2\alpha \]
dan
\[ y' = x\sin2\alpha - y\cos2\alpha. \]
Dalam bentuk matriks, kedua persamaan terakhir menjadi
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos2\alpha & \sin2\alpha \\ \sin2\alpha & -\cos2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \]
Matriks bujur sangkar pada persamaan matrix terakhir merupakan matris pencerminan dari titik $(x, y)$ terhadap garis $L(\alpha)$.

Gloria in excelsis Deo.