Bentuk Umum dari Rumusan Delta Dirac dan Transformasi Fourier

[cotrans]

Namo amitabha.

\section{Bentuk Umum dari Rumusan Delta Dirac dan Transformasi Fourier}

Di berbagai literatur, terkadang kita melihat bentuk rumusan delta Dirac dan transformasi Fourier yang berbeda-beda.  Oleh karena itu, di sini, saya akan menyajikan rumusan delta Dirac dan transformasi Fourier dalam bentuk umum.

Andaikan ada himpunan $C(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ yang berisi semua fungsi dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{C}$.

Andaikan ada delta Dirac $\delta \,:\, \mathbb{R} \to \bar{\mathbb{R}}$.

Andaikan ada transformasi Fourier $F \,:\, C(\mathbb{R}, \mathbb{C}) \to C(\mathbb{R}, \mathbb{C})$.

Andaikan $g := F(f)$.

Bentuk umum dari perumusan delta Dirac adalah
\[ \delta(x) = \frac{\alpha}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\alpha kx}dk \]
di mana $\alpha \in \mathbb{R}$ adalah sebuah tetapan.

Bentuk umum dari perumusan transformasi Fourier adalah
\[ g(k) = \alpha A\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{i\alpha kx}dx \]
di mana $A \in \mathbb{R}$ adalah sebuah tetapan.

Oleh karena itu,
\[ \int_{-\infty}^\infty g(k)e^{-i\alpha kx'}dk = \alpha A\int_{-\infty}^\infty f(x)\int_{-\infty}^\infty e^{i\alpha k(x - x')}dk\,dx \]
\[ = 2\pi A\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x - x')dx = 2\pi A\,f(x') \]
sehingga
\[ f(x) = \frac{1}{2\pi A}\int_{-\infty}^\infty g(k)e^{-i\alpha kx}dk. \]

Apabila $A = 1$ dan $\alpha = 1$, maka $\alpha/(2\pi) = 1/(2\pi)$, $\alpha A = 1$, dan $1/(2\pi A) = 1/(2\pi)$.

Apabila $A = 1/\sqrt{2\pi}$ dan $\alpha = 1$, maka $\alpha/(2\pi) = 1/(2\pi)$, $\alpha A = 1/\sqrt{2\pi}$, dan $1/(2\pi A) = 1/\sqrt{2\pi}$.

Apabila $A = 1/(2\pi)$ dan $\alpha = 2\pi$, maka $\alpha/(2\pi) = 1$, $\alpha A = 1$, dan $1/(2\pi A) = 1$.

Alhamdulillah hirobbil alamin.