Rapat Peluang dan Rapat Arus Peluang dari Persamaan Schr\"odinger Relativistik

[cotrans]

Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

\section{Rapat Peluang dan Rapat Arus Peluang dari Persamaan Schr\"odinger Relativistik}

Persamaan Schr\"odinger relativistik adalah
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(\Psi - \frac{1}{2mc^2}\left(V\Psi - 2i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
di mana $\hbar$ adalah konstanta Planck tereduksi, $m \in \mathbb{R}^+$ adalah massa partikel, $\Psi \in \mathbb{C}$ adalah gelombang kebolehjadian yang bergantung pada posisi $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ dan waktu $t \in \mathbb{R}$, $c$ adalah konstanta kelajuan cahaya dalam ruang hampa, $V \in \mathbb{R}$ adalah tenaga potensial yang bergantung pada $\vec{r}$ dan $t$, dan $i := \sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner satuan.  Oleh karena itu,
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Psi^*\nabla^2\Psi - \frac{1}{c^2}\Psi^*\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}\right) + V\left(|\Psi|^2 - \frac{1}{2mc^2}\left(V|\Psi|^2 - 2i\hbar\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right)\right) = i\hbar\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t} \]
dan
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\Psi\nabla^2\Psi^* - \frac{1}{c^2}\Psi\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial t^2}\right) + V\left(|\Psi|^2 - \frac{1}{2mc^2}\left(V|\Psi|^2 + 2i\hbar\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\right)\right) = -i\hbar\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}. \]
Dengan mengambil selisih dari kedua persamaan terakhir, diperoleh
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla\cdot(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\right)\right) + \frac{i\hbar V}{mc^2}\frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} = i\hbar\frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} \]
alias
\[ \frac{i\hbar}{2m}\left(\nabla\cdot(\Psi^*\nabla\Psi - \Psi\nabla\Psi^*) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t} - \Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t}\right)\right) + \left(\frac{V}{mc^2} - 1\right)\frac{\partial|\Psi|^2}{\partial t} = 0 \]
alias
\[ \nabla\cdot\vec{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 \]
yang merupakan persamaan kontinyuitas peluang, di mana
\[ \vec{J} := \frac{i\hbar}{2m}(\Psi\nabla\Psi^* - \Psi^*\nabla\Psi) \]
yang merupakan rapat arus peluangnya, dan
\[ \rho := \left(1 - \frac{V}{mc^2}\right)|\Psi|^2 + \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial t} - \Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right) \]
adalah rapat peluangnya.

Arigatou ikimono gakari.