Posisi Titik Rata-Rata terhadap Waktu

[cotrans]

Namo Buddhaya.

\section{Posisi Titik Rata-Rata terhadap Waktu}

Posisi rata-rata sebuah titik $\vec{r} \in \mathbb{R}^n$ yang bergantung  pada waktu $t \in \mathbb{R}$ terhadap waktu $t$ sejak $t = 0$ didefinisikan sebagai
\[ \left<\vec{r}\right> := \frac{1}{t}\int_0^t \vec{r}\,dt. \]

Sebagai contoh, andaikan $n = 2$, serta
\[ \vec{r} = R(\hat{x}\cos\omega t + \hat{y}\sin\omega t) \]
yang merupakan gerak melingkar beraturan, di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lintasan gerak melingkar tersebut, $\omega \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ adalah frekuensi sudut gerak melingkar tersebut yang konstan, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, serta $\hat{x} := (1, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1)$.  Tentu saja
\[ \left<\vec{r}\right> = \frac{R}{\omega t}(\hat{x}\sin\omega t - \hat{y}(\cos\omega t - 1)). \]
Vektor $\left<\vec{r}\right>$ tersebut akan cenderung semakin mendekati titik $(0, 0)$ seiring dengan bertambahnya nilai $t$.

Contoh berikutnya adalah gerak ayunan selaras.  Andaikan $n = 1$, serta $\vec{r} = z$, di mana
\[ z = z_0\cos\omega t \]
dengan $z_0 \in \mathbb{R}$ adalah posisi awal partikel tersebut, $\omega \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ adalah frekuensi sudut ayunan tersebut, dan $t$ adalah waktu.  Tentu saja,
\[ \left<z\right> = \frac{z_0}{\omega t}\sin\omega t. \]
Posisi $\left<z\right>$ tersebut akan cenderung semakin mendekati titik $0$ seiring dengan bertambahnya nilai $t$.

Sayonara zetsubou sensei.