Vektor Satuan Pembagi Arah Dua Buah Vektor

[cotrans]

Agnus Dei, qui tollis peccata mundi.

\section{Vektor Satuan Pembagi Arah Dua Buah Vektor}

Misalkan ada dua buah vektor $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$.  Kita diminta untuk mencari sebuah vektor satuan $\hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) \in \mathbb{R}^3$ yang membagi adil arah kedua vektor tersebut.   Andaikan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah $\theta \in [0, \pi]$.  Oleh karena itu,
\[ \hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\cos\frac{\theta}{2} + \frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}}{|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}|}\sin\frac{\theta}{2} \]
di mana
\[ \cos\theta := \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \]
sehingga
\[ \cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \cos\theta\right)} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} \]
serta
\[ \sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \cos\theta\right)} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)}. \]
Oleh karena itu,
\[ \hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} + \frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}}{|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)}. \]
Tentu saja, secara intuitif, $\hat{c}(\vec{a}, \vec{a}) = \vec{a}/|\vec{a}|$ dan $\hat{c}(\vec{b}, \vec{a}) = \hat{c}(\vec{a}, \vec{b})$.

Om Swastyastu.