Halaman: 1 2 3 [4] 5 6 ... 10
31
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 03, 2022, 02:50:20 PM »
\section{Gerhana Bulan dan Gerhana Matahari}
Misalkan di ruang hampa $\mathbb{R}^2$, posisi matahari ada di titik $(0, 0)$, posisi bumi relatif terhadap matahari ada di titik
\[ \vec{R} := R(\hat{x}\cos\Omega t + \hat{y}\sin\Omega t), \]
dan posisi bulan relatif terhadap bumi ada di titik
\[ \vec{r}' := r'(\hat{x}\cos\omega t + \hat{y}\sin\omega t), \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jarak rata-rata bumi-matahari, $r' \in \mathbb{R}^+$ adalah jarak rata-rata bulan-bumi, $\hat{x} := (1, 0)$, $\hat{y} := (0, 1)$, $\Omega := 2\pi/T$, $\omega := 2\pi/\tau$, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, $T \in \mathbb{R}^+$ adalah periode revolusi bumi terhadap matahari, dan $\tau \in \mathbb{R}^+$ adalah periode revolusi bulan terhadap bumi. Oleh karena itu, posisi bulan relatif terhadap matahari adalah
\[ \vec{r} := \vec{R} + \vec{r}' = \hat{x}(R\cos\Omega t + r'\cos\omega t) + \hat{y}(R\sin\Omega t + r'\sin\omega t). \]
Gerhana bulan akan terjadi ketika $|\vec{r}|$ bernilai maksimum, sedangkan gerhana matahari akan terjadi ketika $|\vec{r}|$ bernilai minimum. Kemudian,
\[ |\vec{r}|^2 = R^2 + r'^2 + 2Rr'\cos(\Omega - \omega)t. \]
Selanjutnya untuk terjadi gerhana, berlaku
\[ (d/dt)(|\vec{r}|^2) = 0 \]
sehingga
\[ \sin(\Omega - \omega)t = 0 \]
alias
\[ (\Omega - \omega)t = n\pi \]
di mana $n \in \mathbb{Z}$, sehingga
\[ t = t_n := n\pi/(\Omega - \omega) = n\pi/(2\pi(1/T - 1/\tau)). \]
Gerhana bulan terjadi ketika $n$ merupakan bilangan genap, sedangkan gerhana matahari terjadi ketika $n$ merupakan bilangan ganjil.
32
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 25, 2022, 08:23:18 AM »
Analisis berutang kepada Laplace terutama pengembangan penuh dari koefisien, potensi dan teori probabilitas. Dalam bidang mekanika langit, kejayaannya dibuat oleh penemuan (diumumkan pada tahun 1773) tentang ketidakbervariasian gerakan rata-rata planet dan stabilitas tata surya yang diakibatkannya. The "Exposition du Système du Monde", di mana hasilnya disajikan tanpa pengurangan matematis, menunjukkan keunggulan linguistik sedemikian rupa sehingga membuatnya mendapatkan kursi di antara Empat Puluh Akademi Prancis (1816) dan untuk sementara waktu menjadi presiden badan itu (1817 ). Lima volume "Mécanique Céléste" membuatnya menjadi Newton dari Prancis. Dia diterima di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis, pertama sebagai rekan (1773) dan kemudian sebagai anggota (1785), dan mengambil tempat terkemuka di Institut, di mana Akademi dikembangkan (1796). Dia adalah salah satu pendiri Biro Garis Bujur dan untuk sementara waktu menjadi presidennya. Royal Society of London dan akademi utama Eropa menghormatinya dengan keanggotaan. Ilmuwan hebat, seperti Berthollet, Cuvier, Humboldt, mendedikasikan karya mereka untuknya. Koleksi karya Laplace dicetak dua kali: oleh Pemerintah dalam tujuh jilid (1843-47), Kamar memberikan empat puluh ribu franc; dan lagi, dengan mengorbankan Jenderal Laplace (yang meninggalkan tujuh puluh ribu franc untuk tujuan itu) dan keponakannya Marquise of Colbert, dalam tiga belas jilid (1878-1904), di bawah naungan Akademi Ilmu Pengetahuan. Terjemahan bahasa Inggris dari "Mécanique Céléste" oleh Dr. Bowditch muncul di Boston (1829-39) dalam empat jilid. Laplace lahir dan meninggal sebagai seorang Katolik. Telah ditegaskan bahwa bagi Laplace Sang Pencipta adalah sebuah hipotesis. Asal usul pernyataan ini terletak pada salah tafsir dari bagian "Système du Monde" (Oeuvres, VI, 1835, hlm. 480), di mana terbukti bahwa dengan "hipotesis sia-sia" Laplace berarti Deus ex machina Newton dan "keajaiban abadi" dari Harmoni Leibniz. Memang benar bahwa Laplace memanjakan diri dalam komentar sembrono terhadap Callistus III baik dalam "Teori Probabilitas" (Pengantar, juga secara terpisah sebagai "Essai Philosophique") dan dalam "Sistem Dunia" (IV, iv). Dia sebagian menebusnya dengan menghilangkan komentar dalam edisi keempat "Essai". Kematian mencegahnya melakukan hal yang sama dalam edisi keenam "Système du Monde", yang koreksinya telah dimulai selama penyakit terakhirnya. Dia meninggal di rumahnya di Paris, Rue du Bac, dihadiri oleh pendeta Misi Asing, di parokinya dia akan dimakamkan, dan pendeta Arcueil, yang dia panggil untuk mengelola kenyamanan terakhir agama (de Joannis , hal.27). https://www.newadvent.org/cathen/08796a.htm
33
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 23, 2022, 08:47:01 AM »
Dia adalah seorang Katolik. Fourier berharap untuk mengejar karir di militer, tetapi ditolak dengan dalih bahwa dia bukan keturunan bangsawan. Dia kemudian bersiap untuk hidup sebagai biarawan Benediktin. Dia mengikatkan dirinya ke Biara St. Benoit-sur-Loir dengan tujuan untuk secara resmi memasuki ordo. Gemuruh Revolusi Prancis menyebabkan dia menyerah pada panggilan ini, dan sebagai gantinya, dia menerima kursi di bidang matematika di Sekolah Militer Auxerre. Pada 1789, ia membaca makalah, Tentang Resolusi Persamaan Numerik Semua Derajat. https://www.quora.com/What-religion-was-Joseph-Fourier?top_ans=290640772
34
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 21, 2022, 05:32:45 PM »
\section{Titik Bagi Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$}
Titik bagi suatu segitiga merupakan perpotongan sekurang-kurangnya dua dari tiga buah garis bagi segitiga tersebut.
Misalnya, ketiga titik sudut dari segitiga tersebut adalah $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \in \mathbb{R}^n$. Titik bagi dari segitiga tersebut akan dimisalkan sebagai $\vec{S} \in \mathbb{R}^n$ sedemikian rupa sehingga
\[ \vec{S} = \vec{A} + a\hat{c}(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) \]
dan
\[ \vec{S} = \vec{B} + b\hat{c}(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$ adalah parameternya, serta
\[ \hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) := \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} + \frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}}{|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} \]
untuk setiap $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^n$.
Oleh karena itu, kita peroleh
\[ A_1 + ac_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) = B_1 + bc_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \]
dan
\[ A_2 + ac_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) = B_2 + bc_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \]
yang apabila kedua persamaan terakhir ini disusun dalam bentuk matriks, menghasilkan
\[ \begin{pmatrix} c_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & -c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ c_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & -c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_1 - A_1 \\ B_2 - A_2 \end{pmatrix} \]
yang dengan aturan Cramer, diperoleh
\[ a = \frac{\begin{vmatrix} B_1 - A_1 & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ B_2 - A_2 & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} c_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ c_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}} \]
sehingga
\[ \vec{S} = \vec{A} + \frac{\begin{vmatrix} B_1 - A_1 & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ B_2 - A_2 & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} c_1(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_1(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \\ c_2(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}) & c_2(\vec{C} - \vec{B}, \vec{A} - \vec{B}) \end{vmatrix}}\hat{c}(\vec{B} - \vec{A}, \vec{C} - \vec{A}). \]
Inilah titik bagi yang dimaksud.
35
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 21, 2022, 12:54:56 PM »
\section{Titik Tinggi Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$}
Titik tinggi suatu segitiga merupakan perpotongan dari sekurang-kurangnya dua dari tiga garis tinggi segitiga tersebut.
Misalkan posisi titik sudut pada segitiga tersebut adalah $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \in \mathbb{R}^n$. Titik tinggi segitiga tersebut tentu saja adalah $\vec{T} \in \mathbb{R}^n$ sedemikian rupa sehingga
\[ (\vec{T} - \vec{A})\cdot(\vec{C} - \vec{B}) = 0, \]
\[ (\vec{T} - \vec{B})\cdot(\vec{A} - \vec{C}) = 0, \]
\[ (\vec{T} - \vec{C})\cdot(\vec{B} - \vec{A}) = 0, \]
serta
\[ \left<\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}\right>\cdot\vec{T} = [\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}] \]
di mana
\[ \left<\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}\right> := \vec{A}\times\vec{B} + \vec{B}\times\vec{C} + \vec{C}\times\vec{A} \]
dan $[\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}] := \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})$.
36
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 20, 2022, 07:54:44 PM »
\section{Titik Berat Suatu Segitiga di Ruang $\mathbb{R}^n$}
Titik berat sebuah segitiga merupakan perpotongan dari sekurang-kurangnya dua dari tiga buah garis berat pada segitiga tersebut.
Misalnya ada segitiga di ruang $\mathbb{R}^n$ yang ketiga titik sudutnya adalah $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \in \mathbb{R}^n$. Posisi garis berat yang melalui titik $\vec{A}$ tentu saja adalah $\vec{A}' := \vec{A} + a[(1/2)(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A}]$ di mana $a \in \mathbb{R}$ adalah parameternya. Posisi garis berat yang melalui titik $\vec{B}$ tentu saja adalah $\vec{B}' := \vec{B} + b[(1/2)(\vec{C} + \vec{A}) - \vec{B}]$ di mana $b \in \mathbb{R}$ adalah parameternya. Agar kedua garis berat tersebut bertemu di suatu titik berat, katakanlah $\vec{Z} \in \mathbb{R}^n$, maka haruslah $\vec{A}' = \vec{B}' = \vec{Z}$ alias
\[ \vec{A} + a[(1/2)(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A}] = \vec{B} + b[(1/2)(\vec{C} + \vec{A}) - \vec{B}] \]
alias
\[ (1 - a - b/2)\vec{A} + (a/2 - 1 + b)\vec{B} + (a/2 - b/2)\vec{C} = \vec{0}. \]
Oleh karena itu, haruslah
\[ 1 - a - b/2 = 0, ~~~~~ a/2 - 1 + b = 0, ~~~~~ a - b = 0 \]
alias $b = a$, lalu $1 - a - a/2 = 0$ alias $a = 2/3$, lalu $b/2 - 1 + b = 0$ alias $b = 2/3$. Jadi,
\[ \vec{Z} = \vec{A} + (2/3)[(1/2)(\vec{B} + \vec{C}) - \vec{A}] \]
alias
\[ \vec{Z} = (1/3)(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}). \]
37
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 06, 2022, 05:37:18 PM »
https://id.wikipedia.org/wiki/Wage_Rudolf_SoepratmanWage Rudolf Soepratman adalah anak ketujuh dari sembilan bersaudara. Ayahnya bernama Djoemeno Senen Sastrosoehardjo, seorang tentara KNIL Belanda, dan ibunya bernama Siti Senen. Kakak sulungnya bernama Roekijem. Pada tahun 1914, Soepratman ikut Roekijem ke Makassar. Di sana ia disekolahkan dan dibiayai oleh suami Roekijem yang bernama Willem van Eldik. Soepratman lalu belajar bahasa Belanda di sekolah malam selama tiga tahun, lalu melanjutkan ke Normaalschool di Makassar hingga selesai. Ketika berumur 20 tahun, ia menjadi guru di Sekolah Angka 2. Dua tahun selanjutnya ia mendapat ijazah Klein Ambtenaar. Beberapa waktu lamanya ia bekerja pada sebuah perusahaan dagang. Dari Makassar, ia pindah ke Bandung dan bekerja sebagai wartawan di harian Kaoem Moeda dan Kaoem Kita. Pekerjaan itu tetap dilakukannya walaupun ia telah pindah ke Jakarta. Dalam masa tersebut, ia mulai tertarik pada pergerakan nasional dan banyak bergaul dengan tokoh-tokoh pergerakan. Rasa tidak senang terhadap penjajahan Belanda mulai tumbuh dan akhirnya dituangkan dalam buku Perawan Desa. Buku itu disita dan dilarang beredar oleh pemerintah Belanda. Soepratman dipindahkan ke kota Sengkang. Di situ tidak lama lalu minta berhenti dan pulang ke Makassar lagi. Roekijem sendiri sangat gemar akan sandiwara dan musik. Banyak karangannya yang dipertunjukkan di mes militer. Selain itu Roekijem juga senang bermain biola, kegemarannya ini yang membuat Soepratman juga senang main musik dan membaca-baca buku musik. W.R Soepratman adalah penganut Kristen Katolik yang taat.
38
« Tulisan terakhir by cotrans pada Maret 01, 2022, 12:17:27 PM »
https://jimcowanmusic.com/Jim Cowan lahir dan besar di Gunnison, Colorado. Sebagai seorang anak laki-laki Jim adalah seorang olahragawan yang rajin, menikmati ski, golf, bisbol, berburu, dan kehidupan luar Colorado. Setelah SMA, ia kuliah di Western State College dengan beasiswa musik dan kemudian, Kansas State Teacher's College. Di sinilah Jim mulai mencari kehidupan spiritual yang lebih dalam yang akhirnya membawanya ke Biara Our Lady of Guadalupe Benedictine di Pecos, New Mexico. Di sinilah ia masuk Katolik dan juga bertemu istrinya, Mary. Di sinilah Jim mulai merasakan musik sebagai doa, dan di mana dia mulai menulis doa-doanya ke dalam lagu. Setelah satu tahun di biara, Jim dan Mary kembali ke Colorado, dan menikah. Segera setelah itu, mereka pindah ke Boston, Ma. dimana Jim menghadiri New England Conservatory of Music. Di sini ia memperoleh gelar Bachelor of Music di Classical Voice. Dia kemudian melanjutkan dan melakukan pekerjaan Guru dalam Musik Suci di Universitas Duquesne, di Pittsburgh, Pa., mempelajari piano, suara, liturgi, dan memimpin. Jim dan Mary membesarkan ketiga anak mereka di Steubenville, Ohio di mana Jim adalah Direktur Musik untuk Konferensi Musim Panas di Universitas Fransiskan dari 1981-2004. Jim dan Mary memimpin musik untuk beberapa ziarah Universitas Fransiskan, termasuk satu ke Tanah Suci pada November 1992. Seluruh keluarga Jim Cowan diminta untuk memimpin musik untuk ziarah Api di Roma pada Maret 1995, dan dalam perjalanan inilah Jim mendapat kehormatan untuk menyanyi dalam Misa pribadi Paus Yohanes Paulus II kita yang terkasih, sekarang St. Yohanes Paulus II. Selama lebih dari 10 tahun, keluarga Jim Cowan terus bepergian dan bernyanyi untuk konferensi, konser, dan Jam Suci Ekaristi di sekitar AS dan Kanada. Jim telah menjadi Direktur Musik di beberapa paroki, termasuk St. Mary Mercy di Pittsburgh, Pa., St. Dominic di Panama City, Florida, St. Stephen Martyr di Chesapeake, Va., dan pada Februari 2016, ia mulai bekerja di Gereja Katolik Kebangkitan di Pantai Miramar, Florida. KUTIPAN Ajari anak-anak Anda untuk menyanyikan pujian dan penyembahan kepada Tuhan - itu adalah bentuk doa yang paling murni - terutama pujian - itu adalah doa tanpa kepentingan diri sendiri…. jadi, ajari mereka untuk beribadah dan mereka akan memiliki hubungan dengan Tuhan selamanya. - Paus Francis Saya suka musik Anda dan cara Anda mengekspresikannya dengan penuh doa. Tuhan memberkati! Fr. mengenakan Jim yang terhormat, Karunia musik Anda adalah harta karun. Saya harap musik Anda menyebar jauh dan luas… Terima kasih telah mengajari saya bernyanyi dengan penuh doa. Ini telah menambahkan dimensi baru untuk bernyanyi. Terima kasih atas kata-kata dan lagu-lagu spesial Anda. Maria F. Jim Cowan yang terhormat, Saya ingin tahu apakah Anda pernah berpikir tentang semua jiwa yang Yesus sembuhkan dan pertobatkan melalui "ya" Anda kepada-Nya. Pelayanan musik Anda adalah karunia yang menyentuh jiwa dan hidup dalam ingatan. Saya hanya satu orang di mana Yesus tinggal, mengenakan kata-kata dan melodi Anda. "Ya" Anda membantu saya mengatakan "ya" sepanjang hari dan malam. Terima kasih, Hanya satu dari ribuan
39
« Tulisan terakhir by cotrans pada Februari 28, 2022, 07:35:51 PM »
https://www.babe.news/a/7069642029814252034?af_dp=snssdk1124%3A%2F%2Fdetail%3Fcampaign_group_id%3D7069642029814252034&af_force_dp=true&af_sub1=1124&af_sub2=7069642029814252034&af_sub5=7069642029814252034&af_web_dp=https%3A%2F%2Fplay.google.com%2Fstore%2Fapps%2Fdetails%3Fid%3Did.co.babe&_extra=%7B%22source_impr_id%22%3A%227069725360627566850%22%2C%22source_user_id%22%3A%227009260777148466177%22%2C%22source_group_id%22%3A%227069642029814252034%22%7D&app_id=1125&app_launch_by=Share+Page+Link&c=wa%3Fpid%3Dsuffix_Link&c=&gid=7069642029814252034&group_id=7069642029814252034&impr_id=7069725360627566850&item_id=7069642029814252034&language=id®ion=id&share_desc_type=two&user_id=7009260777148466177Ilustrasi - Siapa sebenarnya penemu pertama kali Toa, speaker pengeras suara ini ternyata pertama kali ditemukan oleh seorang pastor? /Pixabay/fancycrave1 BERITA DIY - Simak informasi siapa sebenarnya penemu pertama kali Toa, speaker pengeras suara ini ternyata pertama kali ditemukan oleh seorang pastor. Masih hangat beberapa hari ini tentang pembahasan Toa Masjid yang sedang banyak diperbincangkan masyarakat di Indonesia. Hal ini dipicu dengan Surat Edaran Menteri Agama Gus Yaqut Cholil yang menyoroti aturan penggunaan Toa Masjid di Indonesia. Tidak hanya aturan penggunaan Toa Masjid saja yang jadi sorotan, pernyataan Menteri Agama Yaqut Cholil Qoumas yang membandingkan suara adzan dengan gonggongan hewan juga jadi bahasan yang ramai. Terleps dari polemik yang sedang ada, ternyata banyak orang yang belum mengetahui tentang siapa penemu pertama Toa atau megafon. Di Indonesia pengeras suara megafon atau speaker lebih dikenal dengan istilah Toa, padahal jika diperhatikan nama ini hanya sebatas merek dari megafon tersebut. Toa merupakan merek megafon ternama buatan Negara Jepang yang bernama TOA Corporation yang berdiri sejak 1 September 1934. Perusahaan TOA Corporation sendiri didirikan oleh Tsunetaro Nakatani yang memiliki kantor pusat di Minatojima Makamachi, Chuo-ku, Kobe, Jepang. Dengan kata lain, sebenarnya megafon atau pengeras suara yang banyak dikenal TOA sudah ada sebelum pabrikan speaker ini ada. Penemu megafon atau TOA pertama diketahui bernama Athanasius Kircher, ia lahir di Kota Geisa, Jerman 2 Mei 1602. Athanasius Kircher sang penemu megafon ini diketahui merupakan seorang Pastor Khatolik Ordo Yesuit dari (Society of Jesus) juga dikenal dengan sebutan SJ. Selain mengabdikan diri sebagai Pastor Athanasius Kircher juga dikenal sebagai ilmuan, total ia pernah mempublikasikan 40 tulisan sepanjang hidupnya. Sedangkan Athanasius Kircher menemukan megafon atau pengeras suara pertama kali pada abad ke-17 di tahun 1600an. Pengeras suara pertama paling terkenal terdapat di fonograf mekanik, dimana pencatat nada menggerakan jarum logam yang berat. Kemudian jarum tersebut akan memicu getaran dalam diafgragma logam kecil, yang bertindak sebagai pemicu dari pengeras suara genggam. Sebuah contoh yang terkenal adalah pengeras suara genggam yang dapat didengar oleh anjing Nipper RCA. Demikian informasi siapa sebenarnya penemu pertama kali Toa, speaker pengeras suara ini ternyata pertama kali ditemukan oleh seorang pastor.***
40
« Tulisan terakhir by cotrans pada Februari 27, 2022, 03:44:22 PM »
\section{Transformasi Lorentz untuk Perangkat $(\vec{u}, \gamma)$, $(\vec{p}, E)$, $(\vec{J}, \rho)$, dan $(\vec{k}, \omega)$}
Kita sudah mengenal transformasi Lorentz untuk perangkat posisi-waktu, yaitu
\[ d\vec{r}' = d\vec{r} + (\Gamma - 1)d\vec{r}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}dt \]
dan
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r}' \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut kerangka acuan $O$, $\vec{r}' \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi partikel menurut kerangka acuan $O'$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $O'$ menurut $O$, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu menurut $O$, $t' \in \mathbb{R}$ adalah waktu menurut $O'$, $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$, dan $\Gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{V}|/c)^2}$. Di sini, $c$ adalah tetapan kelajuan cahaya dalam ruang hampa.
Apabila $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel menurut $O$ dan $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel menurut $O'$, maka $\vec{u} := d\vec{r}/d\tau = \gamma\vec{v}$ adalah swa-kecepatan partikel menurut $O$ dan $\vec{u}' := d\vec{r}'/d\tau = \gamma'\vec{v}'$ adalah swa-kecepatan partikel menurut $O'$, di mana $\gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}|/c)^2}$ dan $\gamma' := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}'|/c)^2}$. Di sini, $\tau \in \mathbb{R}$ adalah swa-waktu milik partikel tersebut sedemikian $dt/d\tau = \gamma$ dan $dt'/d\tau = \gamma'$. Oleh karena itu,
\[ \vec{u}' = \vec{u} + (\Gamma - 1)\vec{u}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}\gamma \]
dan
\[ \gamma' = \Gamma(\gamma - \vec{u}\cdot\vec{V}/c^2). \]
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan terakhir ini dengan massa rehat partikel, yaitu $m_0 \in \mathbb{R}^+$, serta dengan mengingat bahwa $\vec{p} := m\vec{v} = m_0\vec{u}$ adalah momentum partikel tersebut menurut $O$ dan $\vec{p}' := m'\vec{v}' = m_0\vec{u}'$ adalah momentum partikel menurut $O'$, di mana $m := m_0\gamma$ adalah massa relativistik partikel menurut $O$ dan $m' := m_0\gamma'$ adalah massa relativistik partikel menurut $O'$, maka diperoleh
\[ \vec{p}' = \vec{p} + (\Gamma - 1)\vec{p}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}E/c^2 \]
dan
\[ E' = \Gamma(E - \vec{p}\cdot\vec{V}), \]
di mana $E := mc^2$ adalah energi relativistik partikel menurut $O$ dan $E' := m'c^2$ adalah energi relativistik partikel menurut $O'$.
Karena $\vec{J} := \rho\vec{v} = \rho_0\vec{u}$ adalah rapat arus listrik menurut $O$ dan $\vec{J}' := \rho'\vec{v}' = \rho_0\vec{u}$ adalah rapat arus listrik menurut $O'$, serta $\rho := \gamma\rho_0$ adalah rapat muatan listrik menurut $O$ dan $\rho' := \gamma'\rho_0$ adalah rapat muatan listrik menurut $O'$, di mana $\rho_0 \in \mathbb{R}$ adalah swa-rapat muatan listrik, maka diperoleh
\[ \vec{J}' = \vec{J} + (\Gamma - 1)\vec{J}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}\rho \]
dan
\[ \rho' = \Gamma(\rho - \vec{J}\cdot\vec{V}/c^2). \]
Dari kaitan Planck, yaitu $\vec{p} = \hbar\vec{k}$, $\vec{p}' = \hbar\vec{k}'$, $E = \hbar\omega$, dan $E' = \hbar\omega'$, di mana $\hbar$ adalah tetapan Planck tereduksi, $\vec{k} \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor gelombang menurut $O$, $\vec{k}' \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor gelombang menurut $O'$, $\omega \in \mathbb{R}$ adalah frekuensi sudut gelombang menurut $O$, dan $\omega' \in \mathbb{R}$ adalah frekuensi sudut menurut $O'$, maka diperoleh
\[ \vec{k}' = \vec{k} + (\Gamma - 1)\vec{k}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}\omega/c^2 \]
dan
\[ \omega' = \Gamma(\omega - \vec{k}\cdot\vec{V}). \]
Halaman: 1 2 3 [4] 5 6 ... 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 01:38:24 PM
Tulisan Terbaru