Halaman: 1 ... 3 4 [5] 6 7 ... 10
41
« Tulisan terakhir by cotrans pada Februari 17, 2022, 04:50:37 PM »
\section{Vektor Satuan Pembagi Arah Dua Buah Vektor}
Misalkan ada dua buah vektor $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$. Kita diminta untuk mencari sebuah vektor satuan $\hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) \in \mathbb{R}^3$ yang membagi adil arah kedua vektor tersebut. Andaikan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah $\theta \in [0, \pi]$. Oleh karena itu,
\[ \hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\cos\frac{\theta}{2} + \frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}}{|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}|}\sin\frac{\theta}{2} \]
di mana
\[ \cos\theta := \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \]
sehingga
\[ \cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \cos\theta\right)} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} \]
serta
\[ \sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \cos\theta\right)} = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)}. \]
Oleh karena itu,
\[ \hat{c}(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)} + \frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}}{|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{a}|}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)}. \]
Tentu saja, secara intuitif, $\hat{c}(\vec{a}, \vec{a}) = \vec{a}/|\vec{a}|$ dan $\hat{c}(\vec{b}, \vec{a}) = \hat{c}(\vec{a}, \vec{b})$.
42
« Tulisan terakhir by cotrans pada Februari 13, 2022, 09:52:37 AM »
43
« Tulisan terakhir by cotrans pada Februari 05, 2022, 06:53:56 PM »
44
« Tulisan terakhir by cotrans pada Februari 04, 2022, 09:33:17 PM »
\section{Lagrangian, Hamiltonian, dan Mamiltonian}
Misalkan ada $n$ buah koordinat umum $q^1, \cdots, q^n \in \mathbb{R}$, dan $n$ buah momentum umum $p_1, \cdots, p_n \in \mathbb{R}$. Didefinisikan pula, $\dot{q}^i := dq^i/dt$ dan $\dot{p}_i := dp_i/dt$ untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu. Misalkan pula, ada sebuah Lagrangian $L \in \mathbb{R}$ yang bergantung secara eksplisit terhadap $(q^1, \cdots, q^n, \dot{q}^1, \cdots, \dot{q}^n, t)$ serta memenuhi persamaan
\[ \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} = p_i ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial L}{\partial q^i} = \dot{p}_i \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$.
Transformasi Legendre $H := \dot{q}^ip_i - L$ menghasilkan
\[ dH = p_id\dot{q}^i + \dot{q}^idp_i - \dot{p}_idq^i - p_id\dot{q}^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
alias
\[ dH = \dot{q}^idp_i - \dot{p}_idq^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q}^i, ~~~~~ \frac{\partial H}{\partial q^i} = -\dot{p}_i, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t} \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Besaran $H$ yang bergantung secara eksplisit terhadap $(q^1, \cdots, q^n, p_1, \cdots, p_n, t)$ ini biasa dikenal sebagai \emph{Hamiltonian}.
Transformasi Legendre $M := q^i\dot{p}_i - L$ menghasilkan
\[ dM = \dot{p}_idq^i + q^id\dot{p}_i - \dot{p}_idq^i - p_id\dot{q}^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
alias
\[ dM = q^id\dot{p}_i - p_id\dot{q}^i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{\partial M}{\partial\dot{p}_i} = q^i, ~~~~~ \frac{\partial M}{\partial\dot{q}^i} = -p_i, ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial M}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}. \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Besaran $M$ yang bergantung secara eksplisit terhadap $(\dot{q}^i, \cdots, \dot{q}^n, \dot{p}_1, \cdots, \dot{p}_n, t)$ ini saya sebut sebagai \emph{Mamiltonian} yang merupakan istilah yang saya buat sendiri.
45
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 31, 2022, 02:34:28 PM »
\section{Rotasi Pasif di Ruang $\mathbb{R}^3$}
Di ruang $\mathbb{R}^3$, ada sebuah vektor $\vec{A} := A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z}$ yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$ yang mengalami rotasi pasif menjadi vektor $\vec{A}' := A'_x\hat{x}' + A'_y\hat{y}' + A'_z\hat{z}'$ akibat vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$, di mana $\theta \in \mathbb{R}$ adalah sudut rotasi, dan $\hat{n} \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor satuan arah sumbu rotasi. Di sini, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$ adalah anggota-anggota basis alamiah ortonormal, serta
\[ \hat{x}' := \hat{x}\cdot\hat{n}\hat{n} + (\hat{n}\times\hat{x})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\hat{x}\sin\theta, \]
\[ \hat{y}' := \hat{y}\cdot\hat{n}\hat{n} + (\hat{n}\times\hat{y})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\hat{y}\sin\theta, \]
\[ \hat{z}' := \hat{z}\cdot\hat{n}\hat{n} + (\hat{n}\times\hat{z})\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\hat{z}\sin\theta \]
adalah vektor-vektor satuan akibat rotasi dari $\hat{x}$, $\hat{y}$, dan $\hat{z}$ oleh $\vec{\theta}$. Tentu saja, $\vec{A}' = \vec{A}$ alias
\[ A'_x\hat{x}' + A'_y\hat{y}' + A'_z\hat{z}' = A_x\hat{x} + A_y\hat{y} + A_z\hat{z} \]
sehingga
\[ A'_x = \hat{x}'\cdot\hat{x}A_x + \hat{x}'\cdot\hat{y}A_y + \hat{x}'\cdot\hat{z}A_z, \]
\[ A'_y = \hat{y}'\cdot\hat{x}A_x + \hat{y}'\cdot\hat{y}A_y + \hat{y}'\cdot\hat{z}A_z, \]
\[ A'_z = \hat{z}'\cdot\hat{x}A_x + \hat{z}'\cdot\hat{y}A_y + \hat{z}'\cdot\hat{z}A_z. \]
Dalam bentuk matriks, ketiga persamaan terakhir menjadi
\[ \begin{pmatrix} A'_x \\ A'_y \\ A'_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \hat{x}'\cdot\hat{x} & \hat{x}'\cdot\hat{y} & \hat{x}'\cdot\hat{z} \\ \hat{y}'\cdot\hat{x} & \hat{y}'\cdot\hat{y} & \hat{y}'\cdot\hat{z} \\ \hat{z}'\cdot\hat{x} & \hat{z}'\cdot\hat{y} & \hat{z}'\cdot\hat{z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}. \]
Dengan demikian, diperoleh ketiga komponen vektor $\vec{A}$ dalam basis ortonormal yang baru akibat rotasi oleh $\vec{\theta}$.
46
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 30, 2022, 03:48:44 AM »
\section{Pendiagonalan Matriks Persegi}
Andaikan ada matriks persegi $n\times n$ yang unsur-unsurnya adalah anggota lapangan $F$, yaitu $A \in ML(n, F)$. Swa-nilai dari matriks $A$ tersebut misalnya adalah $\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in F$ yang memenuhi
\[ \det(A - \lambda_i1) = 0 \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $1 \in ML(n, F)$ adalah matriks identitas. Swa-vektor dari $A$ relatif terhadap swa-nilai $\lambda_i$ adalah $v_i \in ML(n\times 1, F)$ yang memenuhi persamaan
\[ Av_i = \lambda_iv_i \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Andaikan ada matriks persegi $S \in ML(n, F)$ yang kolom ke-$i$-nya berisikan unsur-unsur dari matriks kolom $v_i$. Andaikan ada matriks diagonal $D \in ML(n, F)$ yang unsur ke-$ii$-nya merupakan $\lambda_i$. Oleh karena itu, diperoleh kesamaan
\[ AS = SD ~~~~~ \text{alias} ~~~~~ S^{-1}AS = D \]
apabila $S$ memiliki invers. Dengan demikian pendiagonalan matriks $A$ oleh matriks $S$ menghasilkan matriks $D$.
47
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 30, 2022, 03:17:38 AM »
\section{Bentuk Eksplisit dari Anggota Grup $SL(2, F)$}
Himpunan semua matriks $2\times 2$ yang setiap unsurnya merupakan anggota dari lapangan $F$ dinyatakan sebagai $ML(2, F)$. Grup $SL(2, F)$ didefinisikan sebagai
\[ SL(2, F) := \{ A \in ML(2, F) ~|~ \det A = 1 \}. \]
Misalkan anggota $SL(2, F)$ dinyatakan sebagai
\[ A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL(2, F). \]
Karena $\det A = 1$, maka
\[ ad - bc = 1. \]
Karena $\cosh^2u - \sinh^2u = 1$ untuk setiap $u \in F$, maka haruslah
\[ ad = \cosh^2u ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ bc = \sinh^2u \]
sehingga (misalnya)
\[ d = a^{-1}\cosh^2u ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ c = b^{-1}\sinh^2u. \]
Oleh karena itu, bentuk eksplisit dari anggota $SL(2, F)$ adalah
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ b^{-1}\sinh^2u & a^{-1}\cosh^2u \end{pmatrix}. \]
Jadi, grup $SL(2, F)$ ini berdimensi $3\dim F$.
48
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 21, 2022, 10:31:24 PM »
\section{Mengubah Bentuk $\sqrt{p + \sqrt{q}}$ menjadi Bentuk $\sqrt{a} + \sqrt{b}$}
Misalkan $a, b, p, q \in \mathbb{C}$ adalah sebarang bilangan kompleks. Tentu saja,
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}. \]
Agar bentuk dalam persamaan terakhir ini setara dengan $p + \sqrt{q}$, maka haruslah
\[ a + b = p ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ 4ab = q \]
sehingga $b = p - a$. Otomatis,
\[ 4a(p - a) = q ~~~~~ \text{lalu} ~~~~~ 0 = 4a^2 - 4pa + q \]
sehingga (dengan menggunakan rumus abc) diperoleh
\[ a = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - q}}{2}. \]
Karena $b = p - a$, maka
\[ b = \frac{p \mp \sqrt{p^2 - q}}{2}. \]
Oleh karena itu,
\[ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{p + \sqrt{q}} \]
alias
\[ \sqrt{p + \sqrt{q}} = \sqrt{\frac{p + \sqrt{p^2 - q}}{2}} + \sqrt{\frac{p - \sqrt{p^2 - q}}{2}}. \]
Inilah bentuk yang diharapkan.
49
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 11, 2022, 12:29:08 PM »
\section{Gerak Tumbukan Satu-Dimensi}
Andaikan pada garis riil $\mathbb{R}$ ada dua buah partikel klasik yang bergerak lurus beraturan. Partikel pertama yang bermassa $m_1 \in \mathbb{R}^+$ menempati posisi $x_1 := x_{10} + v_{10}t$ pada waktu $t < T \in \mathbb{R}$. Partikel kedua yang bermassa $m_2 \in \mathbb{R}^+$ menempati posisi $x_2 := x_{20} + v_{20}t$ pada waktu $t < T$ pula. Besaran waktu $T$ ini akan didefinisikan kemudian. Di sini, $x_{10}, v_{10} \in \mathbb{R}$ berturut-turut adalah posisi awal dan kecepatan awal partikel pertama, serta $x_{20}, v_{20} \in \mathbb{R}$ berturut-turut adalah posisi awal dan kecepatan awal partikel kedua. Kedua partikel tersebut bertumbukan di titik $X \in \mathbb{R}$ pada waktu $T > 0$, sehingga
\[ x_{10} + v_{10}T = x_{20} + v_{20}T \]
alias
\[ T = \frac{x_{20} - x_{10}}{v_{10} - v_{20}}. \]
Oleh karena itu,
\[ X = x_{10} + v_{10}T = \frac{v_{10}x_{20} - v_{20}x_{10}}{v_{10} - v_{20}}. \]
Konstanta restitusi tumbukan $\epsilon \in \mathbb{R}$ didefinisikan sedemikian
\[ \epsilon(v_{20} - v_{10}) = V_1 - V_2 \]
di mana $V_1, V_2 \in \mathbb{R}$ berturut-turut adalah kecepatan partikel pertama dan kedua setelah tumbukan yang konstan. Dari hukum kelestarian momentum linier, diperoleh
\[ m_1V_1 + m_2V_2 = m_1v_{10} + m_2v_{20}. \]
Penyelesaian dari kedua persamaan terakhir menghasilkan
\[ V_1 = \frac{(m_1 - \epsilon m_2)v_{10} + (1 + \epsilon)m_2v_{20}}{m_1 + m_2} \]
dan
\[ V_2 = \frac{(1 + \epsilon)m_1v_{10} + (m_2 - \epsilon m_1)v_{20}}{m_1 + m_2}. \]
Jadi, untuk seluruh $t \in \mathbb{R}$, posisi partikel pertama adalah
\[ X_1 = (x_{10} + v_{10}t)u(T - t) + [X + V_1(t - T)]u(t - T) \]
dan posisi partikel kedua adalah
\[ X_2 = (x_{20} + v_{20}t)u(T - t) + [X + V_2(t - T)]u(t - T), \]
di mana $u \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi undak satuan Heaviside sedemikian $u(x) = 1$ untuk $x > 0$, $u(x) = 0$ untuk $x < 0$, dan $u(0) = 1/2$.
50
« Tulisan terakhir by cotrans pada Januari 09, 2022, 08:33:55 PM »
\section{Konsep Pengamat Agung}
\emph{Pengamat agung} adalah pengamat yang tidak memerlukan partikel informatif untuk mengamati gerak sebuah objek di ruang $\mathbb{R}^3$, sedangkan \emph{pengamat non-agung} adalah pengamat yang memerlukan partikel informatif untuk mengamati gerak sebuah objek di ruang $\mathbb{R}^3$. Contoh partikel informatif di sini adalah \emph{lukson}, yaitu partikel yang sedang bergerak dengan kelajuan cahaya dalam ruang hampa, yaitu $c := 299792458,\cdots \operatorname{m}/\operatorname{s}$. Contoh dari lukson adalah foton yang bergerak dalam ruang hampa. Di sini, diasumsikan bahwa objek tersebut selalu memancarkan lukson secara terus-menerus ke segala arah dengan \emph{lintasan garis lurus} di ruang $\mathbb{R}^3$ selama ia bergerak. Pada titik waktu $\tilde{t} \in \mathbb{R}$, posisi objek tersebut adalah $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ menurut pengamat agung di titik $\vec{0} \in \mathbb{R}^3$. Titik waktu menurut pengamat non-agung di titik $\vec{0} \in \mathbb{R}^3$ adalah $t \in \mathbb{R}$ yang bersesuaian dengan titik waktu $\tilde{t}$ menurut pengamat agung tersebut, sehingga
\[ dt = d\tilde{t} + (1/c)|\vec{r}_{\tilde{t}}(\tilde{t} + d\tilde{t})| - (1/c)|\vec{r}| \]
alias
\[ dt = d\tilde{t} + (1/c)d|\vec{r}| \]
alias
\[ \frac{dt}{d\tilde{t}} = 1 + \frac{1}{c}\frac{d|\vec{r}|}{d\tilde{t}} \]
alias (diintegralkan)
\[ \int_0^{\tilde{t}} \frac{dt}{d\tilde{t}}d\tilde{t} = \int_0^{\tilde{t}} d\tilde{t} + \frac{1}{c}\int_0^{\tilde{t}} \frac{d|\vec{r}|}{d\tilde{t}}d\tilde{t} \]
alias
\[ t = t_{\tilde{t}}(0) + \tilde{t} + (1/c)(|\vec{r}| - \vec{r}_{\tilde{t}}(0)). \]
Tentu saja, posisi objek tersebut pada saat $t$ menurut pengamat non-agung adalah $\vec{r} \mapsto t$ yang tentu saja sama dengan posisi $\vec{r} \mapsto \tilde{t}$ menurut pengamat agung. Yang membedakan di sini semata-mata hanyalah urutan penampakan objek tersebut antara menurut pengamat agung dan menurut pengamat non-agung. Tentu saja, pengamat agung akan melihat objek tersebut lebih awal daripada pengamat non-agung, mengingat, sekali lagi, pengamat agung tidak memerlukan partikel informatif dalam melihat objek tersebut, sedangkan pengamat non-agung memerlukan partikel informatif dalam melihat objek tersebut.
Halaman: 1 ... 3 4 [5] 6 7 ... 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 01:42:40 PM
Tulisan Terbaru