Halaman: 1 ... 6 7 [8] 9 10
71
« Tulisan terakhir by Roni pada Juni 21, 2021, 05:59:27 PM »
\section{Syarat Gerak Benda Tegar}
Misalkan ada sistem $n$ buah partikel, yang terletak pada posisi $\vec{r}_1, \cdots, \vec{r}_n \in \mathbb{R}^3$ pada waktu $t \in \mathbb{R}$, yaitu bahwa $\vec{r}_i := f_i(t)$ di mana $f_i \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ adalah pemetaan untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Sistem partikel tersebut disebut benda tegar apabila memenuhi dua syarat, yaitu
\[ (d/dt)|\vec{r}_i - \vec{r}_j| = 0 \]
untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$, serta $f_i$ merupakan pemetaan kontinyu untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Apabila gerak sistem partikel tersebut memenuhi kedua syarat tersebut, maka gerak sistem partikel tersebut merupakan gerak benda tegar. Apabila tidak, maka gerak sistem tersebut bukanlah gerak benda tegar.
72
« Tulisan terakhir by Roni pada Juni 15, 2021, 08:52:30 PM »
\section{Bukti Invariansi Kelajuan Lukson terhadap Sebarang Pengamat}
Lukson adalah partikel yang memiliki kelajuan sama dengan kelajuan cahaya dalam ruang hampa, yaitu $c$. Andaikan ada lukson berkecepatan $\vec{v} := c\hat{v} \in \mathbb{R}^3$ menurut titik pengamat $O$. Andaikan pula ada titik pengamat $O'$ yang bergerak dengan kecepatan $\vec{V} := V\hat{V} \in \mathbb{R}^3$ menurut $O$, di mana $V := |\vec{V}|$. Menurut $O'$, lukson tersebut berkecepatan
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\Gamma := 1/\sqrt{1 - V^2/c^2}$ sehingga
\[ \vec{v}' = \frac{c\hat{v} + (\Gamma - 1)c\hat{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma V\hat{V}}{\Gamma(1 - V\hat{v}\cdot\hat{V}/c)}. \]
Oleh karena itu, $|\vec{v}'|^2$ $= [c^2$ $ + c^2(\Gamma^2 - 2\Gamma + 1)(\hat{v}\cdot\hat{V})^2$ $+ \Gamma^2V^2$ $+ 2c^2(\Gamma - 1)(\hat{v}\cdot\hat{V})^2$ $- 2c\Gamma V\hat{v}\cdot\hat{V}$ $- 2\Gamma(\Gamma - 1)cV\hat{v}\cdot\hat{V}]$ $/[\Gamma^2(1 - V\hat{v}\cdot\hat{V}/c)^2]$. Selanjutnya,
\[ |\vec{v}'|^2 = \frac{c^2 + c^2(\Gamma^2 - 1)(\hat{v}\cdot\hat{V})^2 + \Gamma^2V^2 - 2\Gamma^2cV\hat{v}\cdot\hat{V}}{\Gamma^2(1 - V\hat{v}\cdot\hat{V}/c)^2}. \]
Lalu, dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $\Gamma^2$, diperoleh
\[ |\vec{v}'|^2 = \frac{c^2(1 - V^2/c^2) + V^2(\hat{v}\cdot\hat{V})^2 + V^2 - 2cV\hat{v}\cdot\hat{V}}{(c - V\hat{v}\cdot\hat{V})^2}c^2. \]
Kemudian, kita peroleh
\[ |\vec{v}'|^2 = \frac{c^2 + V^2(\hat{v}\cdot\hat{V})^2 - 2cV\hat{v}\cdot\hat{V}}{(c - V\hat{v}\cdot\hat{V})^2}c^2 = c^2. \]
Jadi, lukson akan teramati sebagai lukson oleh sebarang pengamat.
73
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juni 01, 2021, 03:01:06 PM »
\section{Menggambar Grafik $y = \sin(1/x)$ secara Elegan dengan Menggunakan MATLAB} Biasanya, untuk menggambar grafik $y = \sin(1/x)$ di MATLAB, kita langsung menge-plot titik-titik $x$ dan $y$ yang memenuhi persamaan $y = \sin(1/x)$. Akibatnya, titik-titik ekstrem maksimum dan minimum tidak tergambar di dalam grafik MATLAB. Untuk mencegah hal itu, maka kita perlu membuat $1/x$ menjangkau titik-titik ekstrem, yaitu $(2n + 1)\pi/2$ di mana $n$ adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, kita definisikan $u := 1/x$ alias $x = 1/u$ di mana (misalnya) $u \in (\pi, 10\pi)$, sehingga $y = \sin u$, kemudian yang kita plot adalah $y$ vs $x$. Berikut ini adalah program MATLAB-nya. clear all;
u = linspace(pi, 10*pi, 100000);
x = 1./u;
y = sin(u);
plot(x, y, '--');
Hasilnya, tampak pada gambar. 
74
« Tulisan terakhir by Roni pada Mei 28, 2021, 04:54:49 PM »
\section{Garis Singgung dan Bidang yang Tegak Lurus Kurva serta Bidang Singgung dan Garis yang Tegak Lurus Permukaan}
Misalkan ada sebuah kurva
\[ C(f) := \{ f(t) ~|~ t \in \mathbb{R} \} \]
di mana $f \,:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ adalah pemetaan kontinyu yang injektif.
Misalkan pula, ada sebuah permukaan
\[ S(g) := \{ g(u, v) ~|~ u, v \in \mathbb{R} \} \]
di mana $g \,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ adalah pemetaan kontinyu yang injektif.
Garis singgung di titik $f(t) \in C(f)$ adalah
\[ L(f, t) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - f(t))\times df(t)/dt = \vec{0} \}. \]
Bidang yang tegak lurus $C(f)$ di titik $f(t) \in C(f)$ adalah
\[ P(f, t) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - f(t))\cdot df(t)/dt = 0 \}. \]
Bidang singgung di titik $g(u, v) \in S(g)$ adalah
\[ P'(g, u, v) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - g(u, v))\cdot((\partial g(u, v)/\partial u)\times(\partial g(u, v)/\partial v)) = 0 \}. \]
Garis yang tegak lurus $S(g)$ di titik $g(u, v) \in S(g)$ adalah
\[ L'(g, u, v) := \{ \vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{r} - g(u, v))\times((\partial g(u, v)/\partial u)\times(\partial g(u, v)/\partial v)) = \vec{0} \}. \]
75
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 13, 2021, 08:26:33 PM »
\section{Limit Vektor}
Seandainya, $\vec{f} \,:\, \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ adalah sebuah pemetaan, $\vec{c} \in \mathbb{R}^m$ adalah sebuah vektor yang konstan, serta $\delta, \epsilon \in \mathbb{R}$. Di sini, $m, n \in \mathbb{N}$. Definisi limit vektor adalah
\[ \lim_{\vec{r} \to \vec{c}} f(\vec{x}) = \vec{L} \]
sedemikian untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sedemikian
\[ 0 < |\vec{x} - \vec{c}| < \delta \]
mengakibatkan
\[ |\vec{f}(\vec{x}) - \vec{L}| < \epsilon. \]
Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk ekspisit dari $\vec{L}$.
Kita dapat menuliskan
\[ |\vec{x} - \vec{c}| = |\vec{r}| \]
di mana $0 < |\vec{r}| < \delta$ alias $\vec{r}$ adalah sebarang posisi pada cakram terbuka yang berpusat di titik $\vec{0} \in \mathbb{R}^m$ dan berjari-jari $\delta$, di mana titik $\vec{0}$ dihilangkan, sehingga
\[ \vec{x} = \vec{c} + \vec{r}. \]
Kita dapat juga menuliskan
\[ |\vec{f}(\vec{x}) - \vec{L}| = |\vec{R}| \]
di mana $0 \leq |\vec{R}| < \epsilon$ alias $\vec{R}$ adalah sebarang posisi pada cakram terbuka yang berpusat di titik $\vec{0} \in \mathbb{R}^n$ dan berjari-jari $\epsilon$, sehingga
\[ \vec{L} = \vec{f}(\vec{x}) + \vec{R} \]
alias
\[ \lim_{\vec{r} \to \vec{c}} \vec{f}(\vec{x}) = \vec{f}(\vec{c} + \vec{r}) + \vec{R}. \]
Inilah definisi dari limit vektor tersebut.
76
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 12, 2021, 02:08:25 AM »
\section{Magnitudo dari Jumlah Tiga Buah Vektor Satuan yang Bersudut Apit Sama Satu Sama Lain}
Ada tiga buah vektor satuan, yaitu $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C} \in \mathbb{R}^3$ yang besar sudut apit antara setiap dua buah vektor dari ketiga buah vektor tersebut adalah sama, yaitu $\gamma := \pi - \arccos(1/3)$. Tentu saja,
\[ |\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}|^2 = |\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 + |\hat{C}|^2 + 2\hat{A}\cdot\hat{B} + 2\hat{B}\cdot\hat{C} + 2\hat{C}\cdot\hat{A}. \]
Karena $|\hat{A}| = |\hat{B}| = |\hat{C}| = 1$ serta $\hat{P}\cdot\hat{Q} = \cos\gamma$ untuk setiap $\hat{P}, \hat{Q} \in \{ \hat{A}, \hat{B}, \hat{C} \}$ di mana $\hat{P} \neq \hat{Q}$, maka
\[ |\hat{A} + \hat{B} + \hat{C}|^2 = 1 + 1 + 1 + 2\cos\gamma + 2\cos\gamma + 2\cos\gamma \]
\[ = 3 + 6\cos\gamma = 3 + 6(-1/3) = 3 - 2 = 1. \]
Dengan demikian, terdapat tiga buah vektor satuan yang magnitudo jumlah ketiganya adalah $1$.
77
« Tulisan terakhir by cotrans pada Mei 11, 2021, 07:11:20 PM »
\section{Momen Inersia Sebuah Kubus Pejal terhadap Diagonal Ruangnya}
Andaikan ada sebuah kubus pejal bermassa $m \in \mathbb{R}^+$ dengan panjang rusuk $s \in \mathbb{R}^+$. Kubus tersebut memiliki lokus (tempat kedudukan)
\[ C(s) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ -s/2 < x < s/2, -s/2 < y < s/2, -s/2 < z < s/2 \}. \]
Vektor satuan yang berpangkal di titik $(0, 0, 0)$ dan sejajar dengan diagonal utama dari $C(s)$ adalah
\[ \hat{n} := (n_x, n_y, n_z) = (1, 1, 1)/\sqrt{3} \]
sehingga $n_x = n_y = n_z = n_p := 1/\sqrt{3}$.
Kita akan mencari momen inersia $I$ dari $C(s)$ terhadap $\hat{n}$. Mula-mula, kita mencari kesembilan komponen tensor momen inersia, yaitu $I_{xx}$, $I_{yy}$, $I_{zz}$, $I_{xy} = I_{yx}$, $I_{yz} = I_{zy}$, dan $I_{zx} = I_{xz}$. Karena sumbu-$x$, sumbu-$y$, dan sumbu-$z$ adalah sumbu-sumbu utama, serta karena $C(s)$ bersifat simetris terhadap sistem koordinat Cartesian $(x, y, z)$, maka $I_{xy} = I_{yx} = I_{yz} = I_{zy} = I_{zx} = I_{xz} = I_0 = 0$, serta $I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = I_p$, sehingga
\[ I_p := \rho\int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} (x^2 + y^2)dz\,dy\,dx \]
di mana $\rho := m/s^3$ adalah rapat massa homogen dari $C(s)$. Selanjutnya,
\[ I_p = \rho s\int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} (x^2 + y^2)dy\,dx. \]
\[ I_p = \rho s\int_{-s/2}^{s/2} (x^2s + (2/3)((s/2)^3))dx. \]
\[ I_p = \rho s^2\int_{-s/2}^{s/2} (x^2 + (1/12)s^2)dx. \]
\[ I_p = \rho s^2((2/3)(s/2)^3 + (1/12)s^3). \]
\[ I_p = \rho s^2((1/12)s^3 + (1/12)s^3) = (1/6)\rho s^5. \]
\[ I_p = (1/6)(m/s^3)s^5 = (1/6)ms^2. \]
Kemudian,
\[ I_0 := -\rho\int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} \int_{-s/2}^{s/2} xy\,dz\,dy\,dx = 0. \]
Rumus momen inersia $I$ dari $C(s)$ adalah
\[ I = I_{xx}n_x^2 + I_{yy}n_y^2 + I_{zz}n_z^2 + 2I_{xy}n_xn_y + 2I_{yz}n_yn_z + 2I_{zx}n_zn_x = 3I_pn_p^2 \]
sehingga $I = 3((1/6)ms^2)(1/3) = (1/6)ms^2$. Inilah momen inersia $C(s)$ terhadap $\hat{n}$.
78
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 29, 2021, 07:50:42 PM »
\section{Medan Listrik akibat Arus Listrik}
Biasanya, medan listrik itu ditimbulkan oleh sebuah distribusi muatan listrik, baik itu muatan titik $q \in \mathbb{R}$, rapat muatan linier $\lambda \in \mathbb{R}$, rapat muatan permukaan $\sigma \in \mathbb{R}$, maupun rapat muatan volume $\rho \in \mathbb{R}$. Namun, bagaimana apabila penyebab timbulnya medan listrik itu merupakan sebaran arus listrik, baik itu arus linier $I \in \mathbb{R}$, rapat arus permukaan $\vec{K} \in \mathbb{R}^3$, maupun rapat arus volume $\vec{J} \in \mathbb{R}^3$? Mungkinkah? Jawabannya adalah mungkin.
Kita telah mengetahui hubungan antara arus listrik dengan muatan listrik, yaitu $I := dq/dt$ di mana $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu. Apabila muatan tersebut berbentuk kurva, maka $I|d\vec{r}| = (dq/dt)|d\vec{r}/dt|dt = dq\,v = \lambda|d\vec{r}|v$, di mana $v := |d\vec{r}/dt|$ adalah kelajuan linier arus listrik, sehingga $I = \lambda v$ alias $\lambda = I/v$. Apabila muatan tersebut berbentuk permukaan, maka $\vec{v}\,dq = \vec{v}\sigma|d^2\vec{r}| = \vec{K}|d^2\vec{r}|$, di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah vektor kecepatan arus permukaan, sehingga $\vec{K} = \sigma\vec{v}$. Apabila muatan tersebut berbentuk volume, maka $\vec{v}\,dq = \vec{v}\rho|d^3\vec{r}| = \vec{J}|d^3\vec{r}|$, di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah vektor kecepatan arus volume, sehingga $\vec{J} = \rho\vec{v}$.
79
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 28, 2021, 08:15:44 PM »
\section{Cacah Parameter Riil dari Beberapa Grup Lie}
Kita mengenal grup matriks $ML(n, F)$ yang berisi semua matriks $n\times n$ yang unsur-unsurnya merupakan anggota dari suatu lapangan $F$, yang dapat berupa $\mathbb{R}$ maupun $\mathbb{C}$. Dari grup ini, kita dapat membangun grup linier umum, yaitu
\[ GL(n, F) := \{ A \in ML(n, F) ~|~ \det A \neq 0 \}. \]
Kemudian, kita dapat membangun grup ortogonal, yaitu
\[ O(n) := \{ A \in GL(n, \mathbb{R}) ~|~ AA^{\text{T}} = 1 \} \]
di mana $1$ adalah matriks identitas di $GL(n, F)$.
Selanjutnya, kita dapat membangun grup ortogonal khusus, yaitu
\[ SO(n) := \{ A \in O(n) ~|~ \det A = 1 \}. \]
Demikian pula, kita dapat membangun grup uniter, yaitu
\[ U(n) := \{ A \in GL(n, \mathbb{C}) ~|~ AA^\dagger = 1 \}. \]
Lalu, kita dapat membangun grup uniter khusus, yaitu
\[ SU(n) := \{ A \in U(n) ~|~ \det A = 1 \}. \]
Grup-grup tersebut merupakan contoh dari grup kontinyu alias grup Lie yang dapat memiliki parameter riil.
Andaikan didefinisikan bahwa cacah parameter riil dari grup Lie $G$ adalah $N(G) \in \mathbb{N}_0$.
Untuk menghitung cacah dari parameter riil dari grup $O(n)$, misalnya, maka kita tuliskan
\[ \sum_{i = 1}^n A_{ji}A_{ki} = \delta_{jk} \]
untuk semua $j, k \in \{ 1, \cdots, n \}$, dengan $A_{ij} \in \mathbb{R}$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$, di mana $\delta_{jk}$ adalah delta Kronecker.
Matriks $A \in GL(n, \mathbb{R})$ memiliki $n^2$ buah unsur.
Untuk $j = k$, terdapat $n$ buah persamaan riil sebagai kendala.
Untuk $j \neq k$, terdapat $(n^2 - n)/2 = n(n - 1)/2$ buah persamaan riil sebagai kendala.
Jadi, $N(O(n)) = n^2 - (n + n(n - 1)/2) = n(n - 1)/2$.
Secara serupa $N(SO(n)) = N(O(n)) = n(n - 1)/2$ karena tambahan syarat $\det A = 1$ sama sekali tidak mengurangi cacah parameter riil.
Untuk menghitung cacah parameter riil dari grup $U(n)$, misalnya, maka kita tuliskan
\[ \sum_{i = 1}^n A_{ji}A_{ki}^* = \delta_{jk} \]
untuk semua $j, k \in \{ 1, \cdots, n \}$, dengan $A_{ij} \in \mathbb{C}$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$.
Matriks $A \in GL(n, \mathbb{C})$ memiliki $2n^2$ buah unsur.
Untuk $j = k$, maka ternyata hanya terdapat $n$ buah persamaan riil, bukan $2n$, sebagai kendala.
Untuk $j \neq k$, maka ternyata ada $2(n^2 - n)/2 = n^2 - n = n(n - 1)$ buah persamaan riil sebagai kendala.
Jadi, $N(U(n)) = 2n^2 - (n + n(n - 1)) = n^2$.
Ternyata, tambahan syarat $\det A = 1$ untuk $A \in U(n)$ hanya merupakan sebuah persamaan riil, sehingga $N(SU(n)) = N(U(n)) - 1 = n^2 - 1$.
80
« Tulisan terakhir by cotrans pada April 21, 2021, 04:29:48 PM »
\section{Perkalian antara Dua Buah Bentuk Produk Skalar Tripel}
Andaikan ada dua buah bentuk produk skalar tripel, yaitu
\[ \alpha := \frac{1}{3!}\alpha_{ijk}[\hat{x}_i, \hat{x}_j, \hat{x}_k] ~~~~~ \text{dan} ~~~~~~ \beta = \frac{1}{3!}\beta_{lmn}[\hat{x}_l, \hat{x}_m, \hat{x}_n] \]
di mana di sini telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein untuk indeks berulang. Indeks $i, j, k, l, m, n$ bergerak dari $1$ sampai dengan $p \in \mathbb{N}$. Di sini, $\alpha_{ijk} \in \mathbb{R}$ dan $\beta_{lmn} \in \mathbb{R}$ bersifat antisimetris berturut-turut terhadap pertukaran indeks $i, j, k$ dan $l, m, n$. Demikian pula didefinisikan
\[ \hat{x}_i := (\underset{p}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{i}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]
untuk setiap $i \in \{ 1, \cdots, p \}$. Selain itu, didefinisikan $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] := (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$.
Tentu saja,
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!^2}\alpha_{ijk}\beta_{lmn}\begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix}. \]
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!^2}\alpha_{ijk}\beta_{lmn}(\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} \]
\[ - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl}). \]
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!^2}\alpha_{ijk}(\beta_{ijk} + \beta_{kij} + \beta_{jki} - \beta_{ikj} - \beta_{jik} - \beta_{kji}). \]
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!}\alpha_{ijk}\beta_{ijk}. \]
Apabila sebagai contoh, $p = 3$, maka
\[ \alpha\beta = \frac{1}{3!}(\alpha_{123}\beta_{123} + \alpha_{132}\beta_{132} + \alpha_{213}\beta_{213} + \alpha_{231}\beta_{231} + \alpha_{312}\beta_{312} + \alpha_{321}\beta_{321}) \]
sehingga
\[ \alpha\beta = \alpha_{123}\beta_{123}. \]
Halaman: 1 ... 6 7 [8] 9 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 01:43:42 PM
Tulisan Terbaru