Halaman: 1 [2] 3 4 ... 10
11
« Tulisan terakhir by cotrans pada Agustus 09, 2022, 09:30:44 AM »
\section{Segitiga Geodesik yang Seperti Waktu, Seperti Cahaya, dan Seperti Ruang di Ruang Minkowski}
Kuadrat jarak antara titik $A := (t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $B := (t_1, x_1, y_1, z_1)$ di ruang Minkowski adalah
\[ s_{01}^2 = c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2 \]
di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Apabila $s_{01}^2 > 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti waktu. Apabila $s_{01}^2 = 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti cahaya. Apabila $s_{01}^2 < 0$, maka vektor $B - A$ itu seperti ruang. Andaikan ada segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$. Di sini, akan dipaksakan
\[ c^2(t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2 = s_{12}^2, \]
\[ c^2(t_3 - t_2)^2 - (x_3 - x_2)^2 - (y_3 - y_2)^2 - (z_3 - z_2)^2 = s_{23}^2, \]
\[ c^2(t_1 - t_3)^2 - (x_1 - x_3)^2 - (y_1 - y_3)^2 - (z_1 - z_3)^2 = s_{31}^2. \]
Apabila $s_{12}$, $s_{23}$, dan $s_{31}$ dianggap sudah diketahui dan bersifat bebas, maka di antara kedua belas peubah lainnya, yaitu $t_1$, $t_2$, $t_3$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $y_1$, $y_2$, $y_3$, $z_1$, $z_2$, dan $z_3$, harus ada $3$ peubah yang tidak bebas, sedangkan $12 - 3 = 9$ peubah lainnya dianggap bebas. Agar di antara ketiga peubah tak bebas tersebut (yang diambil dari kedua belas peubah tersebut) tidak ada yang diistimewakan, maka akan dilakukan parameterisasi terhadap kedua belas peubah tersebut, misalnya
\[ c(t_2 - t_1) = s_{12}\cosh\alpha_{12}, \]
\[ x_2 - x_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12}, \]
\[ y_2 - y_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12}, \]
\[ z_2 - z_1 = s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = s_{23}\cosh\alpha_{23}, \]
\[ x_3 - x_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23}, \]
\[ y_3 - y_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23}, \]
\[ z_3 - z_2 = s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = s_{31}\cosh\alpha_{31}, \]
\[ x_1 - x_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31}, \]
\[ y_1 - y_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31}, \]
\[ z_1 - z_3 = s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31}. \]
Ternyata,
\[ s_{12}\cosh\alpha_{12} + s_{23}\cosh\alpha_{23} + s_{31}\cosh\alpha_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\cos\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\cos\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\cos\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\sin\theta_{12}\sin\phi_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\sin\theta_{23}\sin\phi_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\sin\theta_{31}\sin\phi_{31} = 0, \]
\[ s_{12}\sinh\alpha_{12}\cos\theta_{12} + s_{23}\sinh\alpha_{23}\cos\theta_{23} + s_{31}\sinh\alpha_{31}\cos\theta_{31} = 0. \]
Jumlah peubah tak bebas itu sama dengan jumlah persamaan kendala yang saling bebas satu sama lain.
12
« Tulisan terakhir by cotrans pada Agustus 03, 2022, 01:55:44 PM »
\section{Segitiga Geodesik yang Panjang Ketiga Sisinya Nol di Ruang Minkowski}
Persamaan Geodesik pada sebuah manifold licin $M \subseteq \mathbb{R}^m$ berdimensi $n$ yang terbenam di ruang $\mathbb{R}^m$, yang dilengkapi dengan tensor metrik $g := g_{ij}\vec{e}^i\otimes\vec{e}^j$, di mana $g_{ij} \in \mathbb{R}$ adalah komponen kovarian dari $g$, $\vec{e}^i := \nabla q^i$, dengan $\vec{r} \in M$ adalah vektor posisi yang bergantung pada koordinat umum $q^i \in \mathbb{R}$, adalah
\[ \ddot{q}^i + {\Gamma^i}_{jk}\dot{q}^j\dot{q}^k = 0. \]
Di sini, $\dot{q}^i := dq^i/d\lambda$ dan $\ddot{q}^i := d\dot{q}^i/d\lambda$ dengan $\lambda \in \mathbb{R}$ adalah parameter dari $q^i$, serta
\[ {\Gamma^i}_{jk} := \frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial q^k} + \frac{\partial g_{kl}}{\partial q^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial q^l}\right) \]
adalah lambang Christoffel. Untuk metrik Minkowski, $n = 4$, serta $g = \eta$, di mana $\eta_{00} = c^2$, $\eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1$, dan $(\eta_{ij})_{j \neq i} = 0$, dan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, $q^3 := z$, di mana $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Di sini, $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah ruang fisis. Oleh karena itu, di ruang Minkowski, berlaku ${\Gamma^i}_{jk} = 0$ untuk setiap $i, j, k \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, sehingga persamaan geodesiknya menjadi $\ddot{q}^i = 0$ alias $q^i = \alpha^i\lambda + \beta^i$ di mana $\alpha^i, \beta^i \in \mathbb{R}$ adalah tetapan yang hendak dicari kemudian. Apabila $q^i = q^i_0$ ketika $\lambda = 0$, serta $q^i = q^i_1$ ketika $\lambda = 1$, maka diperoleh
\[ q^i = (q^i_1 - q^i_0)\lambda + q^i_0. \]
Tentu saja, $\dot{q}^i = q^i_1 - q^i_0$. Jarak antara titik $(t_0, x_0, y_0, z_0)$ dan $(t_1, x_1, y_1, z_1)$ dalam ruang Minkowsi tentu saja adalah
\[ s_{01} := \int_0^1 \sqrt{g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j}d\lambda. \]
Karena $g_{ij}$ konstan dan $\dot{q}^i$ juga konstan, maka diperoleh
\[ s_{01} = \sqrt{c^2(t_1 - t_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 - (y_1 - y_0)^2 - (z_1 - z_0)^2}. \]
Agar $s_{01} = 0$, maka haruslah
\[ c(t_1 - t_0) = \pm\gamma_{01} \]
di mana $\gamma_{01}$ didefinisikan sedemikian rupa
\[ \gamma_{01} := \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2 + (z_1 - z_0)^2}. \]
Andaikan ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang ketiga titik sudutnya adalah $(t_1, x_1, y_1, z_1)$, $(t_2, x_2, y_2, z_2)$, dan $(t_3, x_3, y_3, z_3)$, sehingga dalam hal ini terdapat $4 + 4 + 4 = 12$ peubah bebas. Agar panjang ketiga sisi segitiga tersebut bernilai nol, maka haruslah dipenuhi
\[ c(t_2 - t_1) = \pm_{12}\gamma_{12}, \]
\[ c(t_3 - t_2) = \pm_{23}\gamma_{23}, \]
\[ c(t_1 - t_3) = \pm_{31}\gamma_{31}. \]
Karena dari ke-$12$ buah peubah bebas itu terdapat $3$ buah persamaan sebagai kendala, maka cacah peubah bebas sisanya menjadi $12 - 3 = 9$ buah peubah bebas, serta terdapat $3$ buah peubah tak bebas, yaitu $t_1, t_2, t_3$, yang akan dicari dengan metode matriks dan determinan. Penyajian matriks dari ketiga persamaan terakhir adalah
\[ \begin{pmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm_{12}\gamma_{12} \\ \pm_{23}\gamma_{23} \\ \pm_{31}\gamma_{31} \end{pmatrix}. \]
Karena
\[ \Delta := \begin{vmatrix} -c & c & 0 \\ 0 & -c & c \\ c & 0 & -c \end{vmatrix} = 0, \]
serta $\Delta_1$, $\Delta_2$, dan $\Delta_3$ semuanya tidak nol, sedemikian rupa $t_1 = \Delta_1/\Delta$, $t_2 = \Delta_2/\Delta$, dan $t_3 = \Delta_3/\Delta$, maka diperoleh kesimpulan bahwa tidak mungkin ada sebuah segitiga geodesik di ruang Minkowski yang panjang ketiga sisinya semuanya nol.
13
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juli 24, 2022, 04:49:22 PM »
\section{Maksima, Minima, dan Pelana Kuda dari Fungsi Dua Peubah}
Misalkan ada sebuah fungsi $f \,:\, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ yang kontinyu. Andaikan didefinisikan $\varphi := f(x, y)$. Andaikan pula, diketahui $\varphi = 0$. Oleh karena itu, pastilah $\varphi$ bergantung pada $x$ dan $y$. Kita akan mencari titik $(x, y)$ yang menyebabkan $\varphi$ bernilai stasioner. Mula-mula, $x$ dan $y$ dianggap bergantung pada $t \in \mathbb{R}$ sehingga $\varphi$ boleh dianggap bergantung pada $t$. Oleh karena itu, agar $\varphi$ bernilai stasioner, maka
\[ \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt} = 0 \]
untuk setiap $t$, sehingga syarat agar $\varphi$ bernilai stasioner adalah
\[ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \frac{\partial\varphi}{\partial y} = 0. \]
Misalkan titik $(x, y)$ yang menyebabkan $\varphi$ bernilai stasioner adalah $(x_0, y_0)$. Titik $(x_0, y_0)$ menyebabkan $\varphi$ bernilai maksimum apabila $d^2\varphi/dt^2 < 0$ di titik $(x_0, y_0)$ sehingga
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt}\right) < 0 \]
alias
\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{d}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{d^2\varphi}{dt^2} < 0. \]
Karena sudah diketahui $\partial\varphi/\partial x = 0$ dan $\partial\varphi/\partial y = 0$ di titik $(x_0, y_0)$, maka diperoleh
\[ \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dy}{dt}\right)\frac{dx}{dt} + \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}\frac{dy}{dt}\right)\frac{dy}{dt} < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + 2\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right] < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left[\left\{\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right\}^2 + \left\{\frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} - \left(\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right)^2\right\}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2\right] < 0 \]
alias $\partial^2\varphi/\partial x^2 < 0$ dan
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\left\{\frac{\partial^2\varphi/\partial y^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} + \left(\frac{\partial^2\varphi/\partial x\partial y}{\partial^2\varphi/\partial x^2}\right)^2\right\} < 0 \]
alias
\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} - \frac{(\partial^2\varphi/\partial x\partial y)^2}{\partial^2\varphi/\partial x^2} < 0 \]
alias
\[ \Delta := \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\right)^2 > 0. \]
Jadi, syarat agar titik $(x_0, y_0)$ menjadikan $\varphi$ bernilai maksimum adalah
\[ \Delta > 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial x^2 < 0 ~~~~~ \text{atau} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial y^2 < 0 \]
di titik $(x_0, y_0)$. Dengan cara serupa, syarat agar titik $(x_0, y_0)$ menjadikan $\varphi$ bernilai minimum ($d^2\varphi/dt^2 >0$) adalah
\[ \Delta > 0 ~~~~~ \text{dan} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial x^2 > 0 ~~~~~ \text{atau} ~~~~~ \partial^2\varphi/\partial y^2 > 0 \]
di titik $(x_0, y_0)$. Apabila $\Delta < 0$ di titik $(x_0, y_0)$, maka titik $(x_0, y_0)$ merupakan titik pelana kuda. Apabila $\Delta = 0$ maka tidak diperoleh informasi apa-apa.
14
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juli 10, 2022, 07:37:59 PM »
\section{Efek Doppler untuk Cahaya}
Kaitan antara waktu $t \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K$ dan waktu $t' \in \mathbb{R}$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah
\[ dt' = \Gamma(dt - d\vec{r}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{r} \in \mathbb{R}^3$ adalah posisi titik $P$ menurut $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Kaitan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu
\[ dt' = \Gamma dt(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $\vec{v} := d\vec{r}/dt$ adalah kecepatan $P$ menurut $K$. Apabila $\vec{v}$ dan $\vec{V}$ konstan, maka kaitan terakhir dapat diintegralkan menjadi
\[ t' - t'_0 = \Gamma(t - t_0)(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2) \]
di mana $t'_0, t_0 \in \mathbb{R}$ adalah tetapan waktu awal. Apabila $t' - t'_0 = T'$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K'$, dan $t - t_0 = T$ adalah periode gelombang cahaya menurut $K$, serta $\vec{v} := c\vec{V}/|\vec{V}|$ adalah kecepatan $P$ yang dianggap sebagai partikel cahaya dalam ruang hampa, maka diperoleh
\[ T' = T\frac{1 - V/c}{\sqrt{1 - (V/c)^2}} \]
di mana $V \in \mathbb{R}$ adalah kecepatan 1-dimensi $K'$ menurut $K$ sedemikian $\vec{V} = V\hat{V}$ dengan $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$. Karena frekuensi gelombang cahaya menurut $K$ adalah $\nu := 1/T$, dan frekuensi gelombang cahaya menurut $K'$ adalah $\nu' := 1/T'$, maka
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 - (V/c)^2}}{1 - V/c} \]
alias
\[ \nu' = \nu\frac{\sqrt{1 + V/c}\sqrt{1 - V/c}}{\sqrt{1 - V/c}\sqrt{1 - V/c}} \]
alias
\[ \nu' = \nu\sqrt{\frac{1 + V/c}{1 - V/c}} = \nu\sqrt{\frac{c + V}{c - V}}. \]
Kaitan terakhir ini merupakan efek Doppler untuk cahaya, di mana $V$ merupakan kecepatan relatif pengamat terhadap sumber cahaya. Besaran $V$ bertanda positif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling mendekati, dan bertanda negatif apabila pengamat dan sumber cahaya bergerak relatif saling menjauhi.
15
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juli 10, 2022, 04:27:38 PM »
\section{Transformasi Kosinus dalam Relativitas Khusus}
Secara relativistik, kecepatan titik $P$ menurut kerangka acuan $K'$ adalah $\vec{v}' \in \mathbb{R}^3$ sedemikian
\[ \vec{v}' = \frac{\vec{v} + (\Gamma - 1)\vec{v}\cdot\hat{V}\hat{V} - \Gamma\vec{V}}{\Gamma(1 - \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)} \]
di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $P$ menurut kerangka acuan $K$, $\vec{V} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan $K'$ menurut $K$, $\Gamma := [1 - (|\vec{V}|/c)^2]^{-1/2}$ adalah faktor Lorentz, $\hat{V} := \vec{V}/|\vec{V}|$ adalah vektor satuan yang searah dengan $\vec{V}$, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Kuadrat magnitudo dari $\vec{v}'$ adalah $v'^2 = [v^2 + (\Gamma^2 - 2\Gamma + 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $+ \Gamma^2V^2 + 2(\Gamma - 1)(\vec{v}\cdot\hat{V})^2$ $- 2\Gamma V\vec{v}\cdot\hat{V}$ $- 2\Gamma(\Gamma - 1)V\vec{v}\cdot\hat{V}]/[\Gamma^2(1$ $- \vec{v}\cdot\vec{V}/c^2)^2]$ di mana $v' := |\vec{v}'|$, $v := |\vec{v}|$, dan $V := |\vec{V}|$. Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2 + (\Gamma^2 - 1)v^2\chi^2 + \Gamma^2V^2 - 2\Gamma^2v\chi V}{\Gamma^2(1 - v\chi V/c^2)^2} \]
di mana $\chi := \cos\theta := \hat{v}\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v} := \vec{v}/v$. Selanjutnya,
\[ v'^2 = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(1 - v\chi V/c^2)^2}. \]
Arah $\vec{v}'$ yang searah dengan $\vec{V}$ adalah
\[ \vec{v}'\cdot\hat{V} = v'\chi' = \frac{v\chi - V}{1 - v\chi V/c^2} \]
di mana $\chi' := \cos\theta' := \hat{v}'\cdot\hat{V}$ dan $\hat{v}' := \vec{v}'/v'$. Selanjutnya,
\[ \frac{1}{\chi'} = v'\frac{1 - v\chi V/c^2}{v\chi - V} \]
yang dikuadratkan kedua ruasnya menjadi
\[ \frac{1}{\chi'^2} = v'^2\frac{(1 - v\chi V/c^2)^2}{(v\chi - V)^2} \]
sehingga diperoleh
\[ \frac{1}{\chi'^2} = \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 + V^2 - 2v\chi V}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - V^2/c^2) + (V^2/c^2)v^2\chi^2 - v^2\chi^2}{(v\chi - V)^2} \]
alias
\[ \frac{1}{\chi'^2} = 1 + \frac{v^2(1 - \chi^2)}{\Gamma^2(v\chi - V)^2}. \]
Kaitan terakhir merupakan transformasi kosinus sudut arah gerak objek $P$ menurut $K$ menjadi menurut $K'$ terhadap $\vec{V}$. Tampak dalam kaitan terakhir, $\chi'$ dapat bernilai positif maupun negatif. Lantas, mana yang dipakai? Solusinya adalah sebagai berikut. Mula-mula, kita masukkan $\theta' = 90^\circ$ sebagai batas ke-positif-an dan ke-negatif-an nilai $\chi'$, sehingga praktis $\chi' = 0$ yang mengharuskan $v\chi - V = 0$ yang mengakibatkan
\[ \chi' = \sqrt{\chi'^2}\operatorname{sgn}(v\chi - V). \]
Tentu saja, $\theta' = \arccos\chi'$.
16
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juni 29, 2022, 04:31:39 PM »
\section{Faktor Lorentz dalam Relativitas Umum}
Dalam teori relativitas khusus, kita telah mengenal faktor Lorentz, yaitu $\gamma := 1/\sqrt{1 - (|\vec{v}|/c)^2}$, di mana $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ adalah kecepatan partikel, dan $c$ adalah kelajuan cahaya dalam ruang hampa. Kita juga telah mengenal kaitan $dt = \gamma d\tau$, di mana $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu, dan $\tau \in \mathbb{R}$ adalah swa-waktu. Tentunya, kaitan terakhir ini dapat kita tuliskan sebagai
\[ (c^2 - |\vec{v}|^2)dt^2 = c^2d\tau^2 \]
alias
\[ c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2d\tau^2 \]
di mana $\vec{v} := (v_x, v_y, v_z) \in \mathbb{R}^3$, $v_x := dx/dt$, $v_y := dy/dt$, $v_z := dz/dt$, serta $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ adalah vektor posisi. Tampak bahwa persamaan terakhir dapat kita tuliskan sebagai
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}dq^idq^j = c^2d\tau^2 \]
di mana $g_{00} := c^2$, $g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1$, dan $(g_{ij})_{j \neq i} = 0$. Di sini, $g_{ij}$ merupakan komponen kovarian dari tensor metrik, serta $q^i$ adalah koordinat umum untuk setiap $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, dengan $q^0 := t$, $q^1 := x$, $q^2 := y$, dan $q^3 := z$. Selanjutnya, persamaan terakhir akan diperumum untuk sebarang metrik yang merupakan ciri khas relativitas umum. Persamaan terakhir tersebut dapat disajikan sebagai
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}dt^2 = c^2d\tau^2 \]
alias
\[ dt = \frac{c}{\sqrt{\sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}}}d\tau \]
yang akan dipadankan dengan persamaan $dt = \gamma d\tau$, sehingga diperoleh
\[ \gamma := \frac{c}{\sqrt{\sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}}} \]
yang merupakan faktor Lorentz dalam relativitas umum.
Lantas, berapa kelajuan cahaya untuk sebarang metrik? Jawabannya adalah sebagai berikut. Untuk cahaya, dipostulatkan $d\tau = 0$ sehingga diperoleh
\[ \sum_{i, j = 0}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt} = 0 \]
sementara kelajuan cahaya dalam relativitas umum adalah $C \in \mathbb{R}^+$ sedemikian
\[ C^2 = \sum_{i, j = 1}^3 g_{ij}\frac{dq^i}{dt}\frac{dq^j}{dt}. \]
di mana $q^1, q^2, q^3$ memenuhi persamaan kedua dari bawah.
17
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juni 28, 2022, 12:15:34 AM »
\section{Garis-Garis Medan Magnet akibat Muatan yang Bergerak}
Misalkan ada sebuah muatan listrik $q \in \mathbb{R}$ yang pada suatu saat tertentu terletak di posisi $\vec{r}' := (0, 0, 0)$ dan berkecepatan $\vec{v} := v\hat{z}$ di mana $v \in \mathbb{R}$ dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Posisi sebarang titik di ruang hampa $\mathbb{R}^3$ adalah $\vec{r} := x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}$ di mana $x, y, z \in \mathbb{R}$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$. Tentu saja, $|\vec{r} - \vec{r}'|^2 = x^2 + y^2 + z^2$. Menurut hukum Biot-Savart, medan magnet di titik $\vec{r}$ tersebut adalah
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec{v}\times(\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}. \]
Tentu saja,
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}qv\frac{x\hat{y} - y\hat{x}}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = B_x\hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z} \]
sehingga otomatis $B_z = 0$, serta
\[ B_x = \frac{\mu_0}{4\pi}qv\frac{-y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \]
\[ B_y = \frac{\mu_0}{4\pi}qv\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Tentu saja, medan $\vec{B}$ tadi memenuhi persamaan $dx/B_x = dy/B_y = dz/B_z$. Apabila $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$, maka diperoleh $-dx/y = dy/x$ alias $-x\,dx = y\,dy$ yang diintegralkan menghasilkan $x^2 + y^2 = R^2$. Oleh karena itu, lokus dari salah satu medan $\vec{B}$ tersebut adalah
\[ S^1(R, z_0) := \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 + z^2; z = z_0 \}. \]
18
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juni 27, 2022, 11:46:18 PM »
\section{Teknik Menggambar Garis-Garis Medan Vektor secara Matematis}
Misalkan ada vektor $\vec{A} := (A_x, A_y, A_z) \in \mathbb{R}^3$ yang bergantung pada posisi $\vec{r} := (x, y, z) \in \mathbb{R}^3$. Garis-garis medan $\vec{A}$ tentu saja merupakan semua $\vec{r}$ yang memenuhi kaitan $\vec{A}\times d\vec{r} = \vec{0}$ alias $dx/A_x = dy/A_y = dz/A_z$. Apabila variabel $x, y, z$ tersebut tidak dapat dipisahkan, maka perlulah kita menganggap bahwa $x, y, z$ bergantung pada parameter kurva $t \in \mathbb{R}$, sehingga apabila didefinisikan $\dot{x} := dx/dt$, $\dot{y} := dy/dt$, dan $\dot{z} := dz/dt$, maka diperoleh persamaan keluarga garis-garis medan $\vec{A}$, yaitu $\dot{x}/A_x = \dot{y}/A_y = \dot{z}/A_z$ yang dapat diselesaikan secara numerik untuk menghasilkan gambar garis-garis medan $\vec{A}$ tersebut.
19
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juni 19, 2022, 05:45:33 PM »
\section{Perkalian Silang di Ruang $\mathbb{R}^n$}
Sejauh ini, kita telah mengenal perkalian silang antara dua buah vektor di ruang $\mathbb{R}^3$ beserta teorema-teoremanya dan sifat-sifatnya. Sekarang, bagaimana perkalian silang antara dua buah vektor dilakukan di ruang $\mathbb{R}^n$ dengan $n \neq 3$? Mungkinkah? Jawabannya adalah mungkin. Berikut ini adalah penjelasannya.
Misalkan ada dua buah vektor $\vec{A} := \sum_{i = 1}^n A_i\hat{x}_i$ dan $\vec{B} := \sum_{i = 1}^n B_i\hat{x}_i$, di mana $A_i, B_i \in \mathbb{R}$ dan
\[ \hat{x}_i := (\underset{n}{\underbrace{0, \cdots, 0, \overset{i}{1}, 0, \cdots, 0}}) \]
untuk semua $i \in \{ 1, \cdots, n \}$. Perkalian silang antara $\vec{A}$ dan $\vec{B}$ adalah sedemikian
\[ \vec{A}\times\vec{B} = \sum_{i, j = 1}^n A_iB_j\hat{x}_i\times\hat{x}_j. \]
Lantas, seperti apa hasil dari $\hat{x}_i\times\hat{x}_j$? Saya berpendapat bahwa kita tidak perlu mempertanyakan seperti apa bentuk kongkret dari $\hat{x}_i\times\hat{x}_j$, karena menurut hemat saya, perkalian silang tersebut semata-mata hanyalah persandingan belaka yang tentu saja memiliki konsekuensi matematis tertentu untuk selanjutnya. Yang jelas, meskipun demikian, tetaplah berlaku sifat-sifat seperti
\[ \hat{x}_j\times\hat{x}_i = -\hat{x}_i\times\hat{x}_j, \]
\[ \hat{x}_i\times(\hat{x}_j\times\hat{x}_k) = \delta_{ik}\hat{x}_j - \delta_{ij}\hat{x}_k, \]
(di mana $\delta_{ij}$ adalah delta Kronecker) dan
\[ (\hat{x}_i\times\hat{x}_j)\cdot(\hat{x}_k\times\hat{x}_l) = \delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}. \]
Sekarang, kita akan mencoba menghitung $\vec{C}\cdot\vec{D}$ di mana $\vec{C} := \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n C_{ij}\hat{x}_i\times\hat{x}_j$ dan $\vec{D} := \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n D_{ij}\hat{x}_i\times\hat{x}_j$ di mana $C_{ij}, D_{ij} \in \mathbb{R}$ bersifat antisimetris terhadap indeks $i, j$ untuk setiap $i, j \in \{ 1, \cdots, n \}$. Perkaliannya adalah sebagai berikut.
\[ \vec{C}\cdot\vec{D} = \frac{1}{4}\sum_{i, j, k, l = 1}^n C_{ij}D_{kl}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}). \]
\[ \vec{C}\cdot\vec{D} = \frac{1}{4}\sum_{i, j = 1}^n C_{ij}(D_{ij} - D_{ji}). \]
\[ \vec{C}\cdot\vec{D} = \frac{1}{2}\sum_{i, j = 1}^n C_{ij}D_{ij} \]
sesuai yang diharapkan. Hasil ini mirip dengan perkalian titik antara dua buah vektor biasa.
20
« Tulisan terakhir by cotrans pada Juni 03, 2022, 01:00:34 PM »
\section{Kardinalitas dari Gabungan dan Irisan Beberapa Himpunan}
Misalkan $A, B, C$ adalah sebarang himpunan. Kardinalitas dari sebarang himpunan $A$ dinyatakan sebagai $|A|$. Kardinalitas dari suatu himpunan, secara mudahnya mengatakan, adalah banyaknya anggota himpunan tersebut. Kita mempunyai beberapa teorema sebagai berikut.
\[ |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|. \]
\[ |A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|. \]
\[ |A\cap B| = |A| + |B| - |A\cup B|. \]
\[ |A\cap B\cap C| = |A| + |B| + |C| - |A\cup B| - |A\cup C| - |B\cup C| + |A\cup B\cup C|. \]
Kita dapat memperumum teorema-teorema tersebut dengan melihat polanya sebagai berikut.
\[ \left|\bigcup_{i = 1}^n A_i\right| = -\sum_{j = 1}^n (-1)^j\sum_{\begin{array}{c} i_1, \cdots, i_j = 1 \\ i_1 < \cdots < i_j \end{array}}^n \left|\bigcap_{k \in \{ i_1, \cdots, i_j \}} A_k\right|. \]
\[ \left|\bigcap_{i = 1}^n A_i\right| = -\sum_{j = 1}^n (-1)^j\sum_{\begin{array}{c} i_1, \cdots, i_j = 1 \\ i_1 < \cdots < i_j \end{array}}^n \left|\bigcup_{k \in \{ i_1, \cdots, i_j \}} A_k\right|. \]
Halaman: 1 [2] 3 4 ... 10
|
Selamat datang, Pengunjung. Silahkan 
Juli 05, 2025, 08:16:58 AM
Tulisan Terbaru